✨ ベストアンサー ✨
まず，②・③は，時制自体に問題はありません。
My brother will be in Korea for a week.(＝②と同じ未来表現)
｢私の兄は，韓国に1週間滞在する見込みだ｣
My brother was in Korea for a week.(＝③と同じ過去形)
｢私の兄は，韓国に1週間滞在していた｣
これらはどちらも可能な文です。
ただし，④の現在形に関して言えば、for a weekとは基本的に相性が悪いかと思います。
④が現在形であること以外に，②～④ではいけない理由を一括りにして言えば，【②～④の動詞は動作動詞だから】です。
come，go，leaveの基本的な意味は｢来る｣，｢行く｣，｢去る｣でしたね。
すべて｢一瞬で終わる動作｣を表す動詞であることが見て取れるかと思います(※上記の基本的な意味以外の意味だとしても，｢一瞬の動作｣に変わりはありません)。
for a week(1週間ずっと)という表現とは見るからに仲が悪そうですよね。
さらに，【②・④の動詞は後ろに＜in＋場所＞の形を続けないから】という理由もあります。
come inという表現はありますが，自動詞扱いで，後ろに場所が続くとしてもinとは別にtoなどが必要になります。
leave inという表現もあるにはあるのですが，場所を続ける表現ではなく，そもそもほとんど見かけない表現です。
go inは｢～に入っていく｣という意味ですが，どのみち｢一瞬の動作｣であり，for a weekとなじまないので，唯一状態動詞(⇔動作動詞)であるbe動詞を使った①が正解になります。
ありがとうございました！助かります！
ちなみに，動作動詞を活かすとしたら，以下のような表現になります。
My brother will come to Korea in a week.
My brother will go to[in] Korea in a week.
My brother will leave for Korea in a week.
これら｢文法上可能な文｣と，問題文＋不正解の選択肢とでは，最低2箇所の食い違いが出るように，上手に問題が作られていることが見て取れるかと思います。