✨ ベストアンサー ✨
came to our houseは絶対直さないといけないですが、
the dayはあってもなくても大丈夫です。
Do you remember when you came to our house.
これは正しい文です。
rememberの目的語に、間接疑問文が入っていると考えても良いし、
whenは関係副詞で、先行詞のthe dayが省略されている（関係副詞の場合、先行詞を省略することができる）と考えても良いです。
comeが自動詞か他動詞か、あるいはhomeの品詞が何かといった点が違っているからです。
たとえば、
「私の家に来る」はcome to my houseと言います。
comeは自動詞なので、後ろに名詞を目的語として取りません。「[名詞] に」来るというときはto[名詞] をつけます。
「帰宅する」はcome homeと言います。
comeは自動詞で名詞を目的語に取りませんから、
このhomeは「家庭」という名詞ではなく、「家庭に」という副詞です。
came our homeですが、
ourの後ろには絶対に名詞がきます。
ということは、our homeが名詞のまとまりですね。
homeは名詞としても副詞としても使えるのでour home自体は間違いではありませんが、何度も言うようにcomeは自動詞なので、その後ろに名詞（のまとまり）が直接来ることはあり得ないのです。
だから文法的に間違っています。
じゃあcome to our homeはいいんですか？
ということになりますが、たしかにこれは形の点では間違っていませんが、別の点で正しくないです。
houseは実際に建っている「家（の建物）」を指します。
homeというのは、目に見える建物ではなくて、「家庭」とか自分のプライベートにより近い領域とか、目に見えないものを指します。スポーツの試合の「ホーム」と「アウェイ」とかもそうです。
come homeは「建物としての家に来る」のではなく「自分の家庭に来る」だから「帰宅する」と訳します。
at homeは「くつろいでいる（状態）」を指しますがこれも同じ理屈です。「自分の家庭にいる（ような状態）」だからです。
come to〜 というのは、
物理的に存在する場所に来ることを基本的に指しますので、
come to our houseは正しいけれど、
come to our home、というのはおかしいんです。
ということでcame to our house が正しいです。
配点5点の英作文とかだったら、came our homeは0点、came to our homeで1点か2点じゃないですかね。
とっても詳しくありがとうございました！
理解できました！！！
こんなに奥が深いとは知りませんでした…！
came our homeはなぜダメなんですか？