Question

Ree

不定方程式です
この2つの式の形は同じですが解き方の使い分けってどうやってするんですか？

不定方程式 ax+ by = c の整数解をすべて求めてみよう。
例題
次の不定方線の整数解をすべて求めよ。
1
5x- -2 0
考え方
まず、5x-9y=2 の整数解を1つ求める。
解
不定方程式 5x-9y=2 の整数解を1つ求めると,
x= 4, y= 2
であるから
5×4-9×2=2
-2②
0-2より
5×x -9×y
=2
-)5×4 -9×2
5(x-4)-9(y-2)=0
=2
5(x-4)-9(yー2) = 0
すなわち
5(x-4) = 9(y-2)
5と9は互いに素であるから, x-4は9の倍数であり,
整数んを用いて
x-4=9k
ここで,x-4= 9k を③に代入すると,
5×9k = 9(y-2) より
y-2=5k
よって, ①のすべての整数解は
x= 9k+4, y=5k+2
ただし,kは整数

次の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
応用
例題
31x+14y =2
1
考え方
前ページの例4より, 不定方程式 31x+14y= 1 の整数解の1つが
x= 5, y=ー11
であることを利用する。
解
31x+ 14y = 1 の整数解の1つは,
x= 5, y= -11
一前ページの例4
であるから
31×5+14×(-11) = 1
両辺を2倍して
31× 10+ 14× (1 22) = 2
0-2より
31(x-10) + 14(y+22) = 0
すなわち
31(x-10) = -14(y+22)
31 と 14は互いに素であるから, x-10は14の倍数であり,
整数えを用いて
x-10 = 14k
ここで,x-10= 14k を③に代入すると,
31×14k = - 14(y+22) より
y+ 22 = -31k
よって, ①のすべての整数解は
ただし、kは整数
x= 14k+10, y=ー31k-22