Question

飴@質問ばっかりです

この問題の解き方を教えてください！！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HiRo

(1)
まずは △PQR の 3 辺の長さを出すと

それぞれ余弦定理より

PQ² = 6² 8² - 2・6・8・cos60°

= 52 より PQ = 2√13

QR² = 8² 4² - 2・8・4・cos60°

= 48 より QR = 4√3

RP² = 4² 6² - 2・4・6・cos60°

= 28 より RP = 2√7

よって cos∠PQR = (52 48 - 28)/(2・2√13・4√3)

= 3√3/(2√13)

sin∠PQR = √{1 - (3√3/2√13)²} = 5/(2√13)

よって面積は

△PQR = 1/2・2√13・4√3・5/(2√13)

= 10√3

(2)
四面体 O-ABC の体積を考えると

△ABC = 1/2・12・12・sin60° = 36√3 であり

O から △ABC への垂線と △ABC の交点を H とすると

H は △ABC の重心でもあり AB の中点を M とすると

CM = 12sin60° = 6√3 で CH = 2/3・CM = 4√3

よって三平方の定理より OH² = OC² - CH² = 96

OH = 4√6 なので

四面体 O-ABC の体積 = 1/3・36√3・4√6

= 144√2

四面体 O-PQR の体積は OA, OB, OC に対する

OP, OQ, OR の辺の比を考えれば

144√2・6/12・8/12・4/12 = 16√2 です☆

△OPQ = 1/2・6・8・sin60° = 12√3

△OQR = 1/2・8・4・sin60° = 8√3

△ORP = 1/2・4・6・sin60° = 6√3 なので

四面体 O-PQR の表面積

= 10√3 12√3 8√3 6√3

= 26√3 であり

(体積) = 1/3・(表面積)・(内接円の半径) なので

16√2 = 1/3・26√3・r

r = 8√6/13

HiRo

疲れたー

飴@質問ばっかりです

とても丁寧にありがとうございます！！