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面白い視点ですね。
完了形を作るときのhave
否定文と疑問文を作り、肯定文でも強調の意味を持つdo
進行形と受動態を作るときのbe
この3つはその他の助動詞（法助動詞と言います）と区別されます。
have・do・beは一次助動詞、法助動詞は二次助動詞とも言います。
一次助動詞have・do・beに共通していて、かつ二次助動詞にはない特徴としては
①一般動詞としての用法がある
②人称変化がある（三単現のこと）
③語彙的意味を持たない
（完了形・否定文・進行形などの形を整えるためだけに使われている）
というのがあり、特に③が決定的に二次助動詞とは異なっています。
難しいこと言いましたが、要は普通の助動詞ともまた違うんだということです。
動名詞で〜ing形になるというのは、haveとbeには起きうる現象ですね。
動名詞が使われるためには、文の要素として名詞が必要でなくてはいけません。しかし、doが使われるのはそれ以前の、否定文・疑問文という文の形式を決めるときだから、助動詞のdoはそもそも動名詞として〜ing形になり得ないんですよね。
そういう意味では、この特徴も一次助動詞で、動名詞になり得るものには固有の、割と大事な指摘かと思いました。
ありがとうございます
追記します
> 動詞をing形にするのではないのですか？
>だからといって過去分詞をing形にするのもおかしいと思うのですが…
助動詞+本動詞の並びで、助動詞が複数並ぶ必要があるときは、順番が決まってます。
法助動詞+have+進行形のbe+受動態のbe +本動詞 です。
例えば、
It may have been being overlooked.
それらは、見落とされ続けてきたのかもしれない。
みたいな感じです。
動名詞の場合、法助動詞は〜ing形になりませんが、それ以降はこの順番が適用されて、書き表すのに必要な並びの【最初】が〜ingになりますね。
「見落とされ続けてきたこと」の場合は
Having been being overlooked となります。
こんな表現出てきたら目が点になりそうですけどね。