Question

たなたな

なぜPQがＸ軸と並行なのかがわからないので教えて欲しいです。

(3] 太郎さんと花子さんは、数学の授業中に先生え
ついて話し合っている。二人の会話を読んで,下の問いに答えよ。
花子:放物線は,軸に平行な光や電波を反射させて,軸上
の1箇所に集める性質があるって教わったね。
太郎:そうそう, 衛星放送用のアンテナは,断面が放物線
になっているんだってね。 中学校の理科で, 光が反
射するときには入射角と反射角が等しくなるって
習ったけど,放物線で反射するときは,どう考えた
らいいんだろう?
アマナイメージズ
反射角入射角
花子:その場合は, 光が当たる点における接線を反射面と
考えればいいみたいだよ。でも, 1箇所に集めるっ
反射面
て,具体的には放物線のどこに集まるんだろう ?
太郎:次の図のように, y軸に平行な光が放物線上の点Pで反射して,軸上の点
7 ol
ュン--。
Qに到達するとしよう。例えばy=x° のグラフで考えてみようか。はじ
220
めは、点Pにおける接線の傾きが1の場合を考える。と,接線とx軸の正の
向きとのなす角が45°だから, 考えやすいと思うよ。
J
2421
花子:接線の傾きが1のとき, 接点Pの座標は
ソ
チ
だから,入射角と反射角
タ
ツ
が等しいことを考えると,点Qの
Q
テ
だね。
ト
0
R
y座標は
他の点,例えばP(1, 1) で反射したときも,
R, Sは,点Pにおける
放物線の接線と, x軸,
y軸との交点
放物線で反射して点Qに集まるのかな?どう
考えれば,それが確かめられると思う?
太郎:点P(1, 1)における接線の方程式は y=
ナ
だけど,この
x
直線とx軸のなす角は求められないね。
2
…でも,入射光がy軸と平行で, かつ入射角と反射角が等しいということ
ば,図においてPQ=| ヌ
……Dが成り立つよ!
(半し

(1) y=x°より, y' = 2x ……(i)
点Pにおける接線の傾きは1だから, 接点p
奥
のx座標をかとすると,
1
2p=1
b=
2
よって,点Pのッ座標は()=より,
2
P
……ソ,タ,チ,ツの(答
4
接線の傾きが1より
接線とx軸の正の向
45°
459
45%
きとのなす角は45°
45°
だから,右の図よりーポ
45°
R
線分 PQと×軸は平
行となり点Qのy
IS
座標は一となる。
…テ,トの(答)
点P(1, 1)における接線の傾きは(i)より,
2×1=2
よって, 接線の方程式は,
y=2(x-1)+1
= 2x-2+1=D2.x-1 ナ,二の(谷)