物理
高校生
波線を引いたところが分かりません。なぜ重力ではなく垂直抗力の反発力がモーメントに影響するんですか？
必解14.〈棒のつりあい)
次の文章を読み,
a~c]については選択肢より適切な向きを選べ。
図のように,長さ1,質量Mの一様な細い棒を床から垂直な壁
に 45°の角度で立てかけた。棒が床と接する点をPとする。壁は
なめらかで棒と壁の間には摩擦察はないが,棒と床の間の静止摩擦
係数はμである。ただし、 重力加速度の大きさをgとする。
(1) まず, 立てかけた棒がすべり落ちないためにμが満た
すべき条件を考えよう。棒にはたらく力のつりあいから,
棒が床から受ける垂直抗力の大きさはア]であり、
棒にはたらく力のモーメントのつりあいから,棒が壁か
ら受ける垂直抗力の大きさは イ]である。それゆえ,
静止摩擦係数は μ>ウ]を満たす必要がある。
(2) いま,質量 mの小さな粘土の粒を, 棒の上にそっと置
2 力とつりあい
11
ア
クに適切な数式を記入せよ。また,
壁
45°%
床
c]の選択肢
a
(8
3
5
45°)
ただし,いずれも鉛直面内とする。
いた。点Pから棒にそって今0
2
-1の位置に置いても棒がすべり落ちないための条件を考えよ
う。粘土粒が棒上に固定されているとき, 粘土粒にはたらく力は, 重力と棒からの抗力で,
これらがつりあっている。したがって作用反作用の法則から, 棒が粘土粒から受ける力の
向きはa で大きさはエ である。(1)での考察と同様に, 棒にはたらく力のつりあ
いと力のモーメントのつりあいから, 静止摩擦係数は μ>オ]を満たす必要がある。
次に,粘土粒を取り除き, 同じ質量 mの小球を, 棒の点Pから棒にそって打ちだしたと
2
ころ,小球は棒をのぼり始めた。小球が点Pから棒にそって今いの位置まで上がっても棒
がすべり落ちないための条件を考えよう。小球と棒に摩擦がないとき,小球にはたらく力
は、重力と棒からの垂直抗力であり,その合力の向きはb]で大きさはカ]であ
り、小球の動きは棒にそった等加速度運動となる。したがって,逆に棒が小球から受ける
力は,向きはc]で大きさはキ」である。。これまでの考察と同様に、棒にはたらく
力のつりあいと力のモーメントのつりあいから, 静止摩擦係数は μ2ク]を満たす必
[11 立命館大)
要がある。
G
(ウ)水平方向の力のつりあいと⑥式より R=fi
よる力
Mg
よって f=-
2
*※A「FXム」で考える
と(図b)
棒がすべり落ちないためには, 摩擦力 f、が最大摩擦力の大きさ
「Fo=μN」以下であればよいので fSuN,
R」
, ©, @式より
Mg
ハドM9
ゆえに μ2。
2
Isin 45°
(2)a(I) 粘土粒にはたらく力は図cのようになり,棒から粘土粒にはたらく抗
カ(垂直抗力と摩擦力の合力)は重力 mg とつりあう。この抗力の反作用
が図dのように棒にはたらくので, 棒が粘土粒から受ける力の向きは鉛直
下向き(6 … (a)) で大きさは mg ……(エ)
(オ)(1)と同様に,棒にはたらく力を図dのように定義する。
水平方向の力のつりあいより
また, 鉛直方向の力のつりあいより
4N
Mg
G,45°
P
考え
lcos45
図b
0に
R2= f2
-cos 45°=R,×lsin45°
Mg×
よって Na=(M+m)g
点Pのまわりの力のモーメントのつりあいより,「F_×1」を用いて
抗力
垂直抗力
N2= Mg+ mg
摩擦力
ミ、
Mgcos 45°×
+mgcos 45°×1-
=R:sin45°×l
2
すなわち Mo"方×ナmo方ーパ方
1
2
= R2*
3
-×1
2
2
V2
mg
Mg
R2=
3
2mg
3M+4m
g
よって
図c
2
6
O, @式より, f2=R2=
6
3M+4m
-g
R2
棒がすべり落ちないための条件は fasuNa であるので, ①, ①式より
3M+4m
6
3M+4m
ラμ(M+m)g
ゆえに μ2
N2
6(M+m)
mg、
(3)(b)(カ) 小球にはたらく力は図eのようになり,棒からの垂直抗力と重力の棒
と直交する成分がつりあうので, 重力の棒と平行な成分が合力となる。よ
って合力の向きは棒と平行に右下 45° の向き(① (b)) で, 大きさは
Mg 45°
P
図dを
mg
mgsin45°=
V2
………(カ)
(c)(キ) 棒は図fのように小球が受ける垂直抗力の反作用を受けるので, 棒と
垂直に左下 45°の向き (6
垂直抗力
大きさは
mg cos 45°= M9※B←
V2
……(キ)
mgsin 45°
mgcos 45°
45°
(ク)(1)と同様に, 棒にはたらく力を図fのように定義する。
水平方向の力のつりあいより Rs=fs+mgcos45°·sin45°
mg
ゆえに fa=R3-
mg
1 1
よって Rs=fs+mg*T2J2
2
図e
合※B 物体が斜めの棒上に
固定された場合(2)の場合)
と,摩擦のない棒上を動く場
合(3)の場合)とでは異なる
結果となる。
また,鉛直方向の力のつりあいより Ns=Mg+mgcos45°…cos 45°
2M+m
1
よって Ns=Mg+mg*T 2
1
=Mg+
mg
2
2
6-
点Pのまわりの力のモーメントのつりあいより, 「F_×1」 を用いて
Mgcos 45°×
+mgcos 45°×-1=D R3sin45°×1
よって Mot切 ー方
1
:×ー+mg…
1= R3-
-x 1
/2
2
2
Rs
45°
3M+4m
g
6
Mg
2mg
ゆえに R=
2
3
3M+m
3M+4m
6
mg.
2
mg-
0, ⑤式より fa=R3-
2
6
6-
棒がすべり落ちないための条件は fasμNs であるので, ①, ①式より
mg
2
Mg
3M+m
45°へ
2M+m
*7プ56-
2
3M+m
したがって にN
3(2M+m)
図f
P
6
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