Question

ジン

偏微分が0なら定数関数となることを示すことができません。

問題14-2
f:R → R
C'線で
)=o ((x, g) e R')$;は"
fx.g) は 定数関教と参る =とを示せ。
*ともa.4が

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

d/dx(f(x,y))=0よりf(x,y)=g(y)となる。
d/dy(f(x,y))=0=d/dy(g(y))=C(定数)

piss

テイラーの定理を用いればすぐに従います。
方針としては各(a,b)ごとにφ(t)=f(ta,tb)(0≦t≦1)を考えるとこれはC^1級ですからテイラーの定理よりφ(1)=φ(0)+φ’(θ)(0<θ<1)となるθが存在します。φ(1)=f(a,b)でφ’(θ)は連鎖律よりd/dx(f(θa,θb)), d/dy(f(θa,θb))の一次結合になるので0となります。したがってf(a,b)=f(0,0)が成り立ちます。
(a,b)は任意なのでこれで定数関数であることが言えます。
詳細はご自分で埋めてみてください。

哲治

テイラーの定理とは勉強になりました！
置き方がうまいです！

ジン

ありがとうございます😭
お2人ともいつもありがとうございます