Question

ちせい

マクスウェルモデルの式の導出について質問です。
プリント2枚目の式(9)から式(10)はどのようにして解いたのでしょうか。

マクスウェル (Maxwell) 模型とフォークト (Voigt) 模型
材料が弾む性質と粘る性質の両方を合わせて示す物性である粘弾性を説
明するために Fig. 1 のようなバネとダッシュポット (ピストン) を組み合
わせた「モデル」 を考える。
マクスウェル模型
マクスウェル模型は Fig. 2 のように, バネとダッシュポットを直列につ
ないだモデルである.弾性率 (バネ定数)を E, バネのひずみを 1, ダッシュ
ポットの粘度を n, ひずみを 2とする. マクスウェル模型は,式で表すと,
Y.=
Y1+ 2,
EY1 = miz
Fig. 1: (a) ばねと (b) ダッシュポッ
となる.ただし,とのは, それぞれ, 注目する材料のひずみと応力 (単位面
ト(ピストン)
積当たりの力)である.ある時間におけるひずみと応力が分かることで, そ
の材料の力学的性質の全てが分かると言ってよい. なお, àは, a の時間tによる微分
de
である。式(1)を時
dt
Fig. 2: マクスウェルモデル
間で微分すると,
タ=ュ+2
が得られる。式(2) より,
WWw
WW
II
II

であることが分かる。式(4), (5) を,式 (3) に代入することで,
タ=
を得る。
材料をt=0 で引っ張り, そのままの長さで固定することを考える。 すなわち, t=0で,
Y= 1= YO, 72 = 0
とし,t>0 で、
dy
タ=
とする。このとき, 式 (6) は,
E
7
となる。これを,式(7) の条件で解くと,
『= Eoe-
(10)
となる,ただし,rは緩利時間であり,
T=
E
で定義した。
6Em
フォークト模型
Fh Ero
フォークト模型は, Fig. 3 に示す通り, バネとピストンを並列に繋いだものである.式(2) が示すようにマク
スウェル模型の場合には, バネとピストンに加わる応力が等しい. これに対し, フォークト模型の場合には, バ
ネとピストンのひずみが等しい. このひずみをっとする。 バネの応力を o1, ピストンの応力を 2とする. バネ
の応力がひずみに比例することは,
『1= Ey
(12)
で表される。また,ダッシュポットの応力がひずみの速度に比例することは、
『2= y
(13)
で表される。このとき, バネとダッシュポットを合わせた全体の応力 a=の1十の2は,
『= Ey+ ny
(14)
となる。これが, フォークト模型を式で表したものである。
さて、フォークトモデルにt=0で一定の応力 oo をかけ, そのまま oo の応力をかけつずけるとこにする.
t=0のとき,ソ=0 であるとする。
2
s
6|s
6回

マクスウェルモデル 導出 物理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

xcv

変数分離型微分方程式ですね
7は初期条件です