Question

ロア

なぜこういう風に場合分けするんですか？

関数y=2cos0-asin'0 (a は定数)において,0が 0冬0SーTの範
いろいろな角の三角関数
囲で動くとき,yの最小値 mを求めよ.ただし, a<0 とする.
三角関数の最大·最小(1)
138
253
例題
m
2
(立命館大 改)
=t とおくと,関数yはtの2次式で表せ,0<0Sるより,一うきts1 である。
考え方)
解答
200
y=2cos0-a(1-cos'0)
=acos°0+2cos 0-a
cos 0=t とおくと, 040<4 より, 一号sts1 で
Paie-) 0え
大)
2
あり,
ソ=at?+2t-a
f(t)=at°+2t-a とすると, a+0 より,
2tS1 で
0S
パローa(+--。
+1-8
a
関数 y=f(t) のグラフは,軸の方程式が
第4
=(>))で,上に凸の放物線である。
ニー
a
OT また, tの変域 -StS1 の中央は、t=- である。
1
ア)
大)
チ () ー のとき
11
(i) ーく
a
4
Y4
a<0 より,
a<-4
f(t)の最小値は,
m=f(1)=2
の他の理を求良ら
ーのとき
i1
2
4
a
a
Y4
a<0 より,
f(t)の最小値は,()
-4Sa<0
ガーバーー
3
m=f\
2
ニ ー
49-1
;2
したがって、
a
2
小集を
m={
3
-ロ-1(-4Sa<0)
間の0 01 合献天競株
1-

三角関数

Answer 1

mo1

上に凸である(下に開く)2次関数の最小値は、

放物線の軸が、右に来るか、左に来るかで決まります

このため、解説のような場合分けになります

ロア

図を見ると両方とも軸がy軸の右じゃないですか？

mo1

失礼しました。「範囲の中央の」という言葉がコピペミスで抜けていました

訂正します(一応、軸というのは【y軸ではなく、放物線の軸です】
――――――――――――――――――――――――――――――――――
上に凸である(下に開く)2次関数の最小値は、

放物線の軸が【範囲の中央の】右に来るか、左に来るかで決まります

このため、解説のような場合分けになります
――――――――――――――――――――――――――――――――――
図が明確でないので
具体的に補足します。

(ⅰ)は、軸t＝－1/a　が、

　　範囲－1/2≦t≦1の中央t＝1/4　より左にある状態で、

　　　★－1/a＜1/4　

　　範囲の右端(t＝1のとき)が最小値となります

(ⅱ)は、軸t＝－1/a　が、

　　範囲－1/2≦t≦1の中央t＝1/4　より右にある状態で、

　　　★1/4＜－1/a　

　　範囲の左端(t＝－1/2のとき)が最小値となります

★参考図を載せます

【「t＝」を「x＝」としてあります】

mo1

図の訂正です。

(ⅰ)と(ⅱ)が逆です。

ロア

ありがとうございます！