Question

げすと

（2）でなぜ接線方向に働く力が0なら"つりあっている"と言えるのですか？

実戦演習9
報
図のように,半径がR の円形の針金に質量 m の小さな物体が通
してある。針金上の A点には, 直径 PA に沿った方向に, この針金
を回転させるための腕がついている。円形針金を下にし, 腕を鉛直
方向にとって,これを回転軸として角速度oで針金を回転させる。
針金と小物体との間には摩擦はないものとし, 重力加速度をgとし
て,次の各問いに答えよ。
(1) 円形針金の中心Oと点Qを結ぶ直線 OQ が鉛直線 OPとなす
角を0とすると,点Qにある小物体に働く遠心力, 針金からの抗
力および重力の合力の針金の接線方向成分はいくらか。
(2) P点とA点以外につりあい点が存在するために ωが満たさなければならない条件を求め
腕
A
0
0
m
1
P
よ。
(3) P点のつりあいが安定であるための条件を求めよ。
ここにつりあいが安定とは, 物体がつりあい点からわずかにずれたときに力がつりあい点に
戻す向きに働き, 物体がつりあい点のまわりで振動する場合をいう.そうでない場合を, つ
りあいが不安定という。
(4) P点のつりあいが安定のとき, 小物体を P点から少しずらして離したところ,小物体は点
Pを中心として小さな振幅で針金に対して単振動をした.このときの周期はいくらか.この
場合,0が微小角度のときの近似式 sin 0=0, cos 0=1 を使って求めよ. [東京電機大学)
問題を解くために coocooorcos

位置にある小物体には遠心力 m(R sin 6)w?, 重力 mg, 抗力 N が働い
=0)とA点(0=x)は必ずつりあい, その他につりあいが存在するとす
(2) つりあい点は F(0)=m(Ro° cos 0-g)sin @=0. したがってP点(6
鉛直軸(AP)のまわりに針金と共に回転する座標系で見れば、
接線成分:F(0)=m(R sin 0)w* cos 0- mg sin 0
向心成分:G(0)=N-m(R sin 0)w° sin 0-mg cos 6
解答·解説
Qの
水平
量m
ている。
(1) 力の接線成分と向心成分は
がな
/m(Rsin0lo
Rで
P
なか
図1
ただし F(0) は0の大きくなる向きを正とする。
る。
の端
で、
れば Ro° cos 0-g=0 となる点
g
COs O=-
Ro
このための条件は e>、/%
R
(3) 小物体がP点(@=0)からわずかにずれたとする。
このとき働く力は, |0<1 ゆえ sin θ=0, cos 0=1 として
F(0)=m(Ro°-g)0
(1
Ru>g
したがって
0>0のとき F(0)>0
(i) Ro>gならば
1e<0のとき F(0)<0
V小 合
不安定、
力はつねにつりあい点から遠ざける向き
P
10>0のとき F(0)<0
lo<0のとき F(0)>0
(i) Ro°<gならば
Ru'<g
力はつねにつりあい点に戻す向き
: 安定
したがってPが安定なつりあいであるための条件は ω<.
g
カP カ
(4)(3) の条件が満たされているとする。
VR
点(0=x)の近傍では
+ <1) として
n0=sin(x+φ)
=-sin φ=一の
0=-1,
運動方程式の接線成分 m=F(0) は, v=R-
de
dt
dt
を代入すれば, Pの
近傍では
mR-
=ーm(g-Rw")0
これは単振動の方程式ゆえ,その振動周期は
(g- Ro>0)
る見
+m(Ro?+g)φ
互はつねに不安
食の。
T=2π\
ROこOSS
9-Ro.
い。
すがRなるのでに消5こ

Answer 1

Crystal Clear

向心成分は束縛条件で強制的に釣り合うからです。
接線成分が釣り合うとき、2つを合わせると力の釣り合いになります。

束縛条件で強制的に釣り合う他の例は、斜面を滑る物体の斜面に垂直な力の成分が強制的に釣り合うなどです。斜面にめり込まないことから導かれます。

げすと

この問題を考える上では物体の鉛直方向の運動はないことにしてよいという理解で大丈夫ですか？

Crystal Clear

斜面を滑る物体の運動方程式を考えるときに、x方向とy方向に分解して考えることは普通はせずに、斜面に垂直な方向と斜面に平行な成分に分解して運動方程式を立てます。このとき、斜面に垂直な方向は釣り合う(ように垂直抗力が働く)。

同様に、円運動の場合はx方向とy方向に分解せずに、向心方向と接線方向に分解します。このとき向心方向は釣り合う(ように垂直抗力などが働く)。

力を分解するときに、x,y方向に分解してもいいし、向心方向と接線方向に分解してもいい(ベクトルの分解)が、円運動のときは後者の方が使いやすい。
今回の問題でも後者でやっている。

"物体の鉛直方向の運動はないことにしてよい"は考え方が間違えていると思う。

げすと

あ、もしかしてこれはPA中心に針金を回転させた上で針金上で物体が円運動するってことですか？？

Crystal Clear

そうですね。
針金と共に動く回転座標で考えれば、針金は静止していて、そのかわりに遠心力(とコリオリ力)が物体にかかります。針金から力をうけてコリオリ力は相殺されるので考えなくても構いません。

げすと

必要でもないのにコリコリ力等一般的な高校生は知らないような知識を使って説明してくるのが不親切に感じたのでベストアンサーは控えさせてもらいますね

げすと

コリオリ力