Question

ペンローズ

連続固有値の場合、固有関数の直交規格化性の式の意味がよくわかりません。どなたか教えてください🙇‍♂️

(4)連続固有値
連続固有値をもつオブザーバブルのもっとも簡単な例は, 粒子の位置を示す
演算子qである.演算子qは, 任意の状態関数φ(q)に変数qを掛けることに
より,新しい状態関数 q¢(q) をつくる演算子である. 粒子は可能なところな
らどこにも存在しうるから, 位置演算子qの固有値q'は連続的な値で与えら
れる。qの固有値方程式は, (1.1)でF=qとおいて
90,(9) = q'(q)
と表わされる.これを(q-q')(q)=D0 として, 公式 xó(x)=0 と比較すれば,
オブザーバブルqの固有値q'に属する固有関数は
g(q) = 6(q-q)
であることが分かる. このとき, 固有関数φ,(q) の直交規格化性は
*8
J ())dg= タ-グ)6のーグ)dg==6(d-d")
| (q-g)6(q-g")dq=6(q'-q")

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

関数(量子力学で扱うような(超)関数)を集めた集合は、関数の和とスカラー倍(複素数倍)を演算として、ベクトル空間を成す。このベクトル空間に内積を次のように定義する。(f,g)=∫[-∞,∞](f(x))*g(x)dx
ベクトル(関数)の大きさ(ノルム)を内積が誘導するノルム
|f|=√(f,f)
で定義する。
これでベクトル(関数)たちの大きさや直交性が議論できる。
上の定義に従って位置演算子の固有関数たち{φq'|q'∈R}の内積を考えると本文のようになり、q'≠q''のとき0つまり直交し、q'=q''のときδ(0)となる。δ(0)=∞≠1だから普通の離散的な正規直交(直交規格)とは違うが、連続的な基底{φq'|q'∈R}はこのような内積関係をもって正規直交という。

固有関数

Crystal Clear

絶対値と区別できるように、ノルムは||f||と表すべきでした。

ペンローズ

ありがとうございます！