Question

yinyue

(2)なんですけど、全然思いつかなくて、解答は背理法を使っていました。背理法以外に証明方法があれば教えてください。また、最初にどう考えれば良かったか、どういう方法を思いつくべきかも教えてください。

2 ★★☆
x, y, zを自然数とし,p=x°+y? +z° とする。 このとき, 次の(1), (2)を証明
計算
せよ。
(1) x, y, 2がいずれも3の倍数でないならば, pは3の倍数である。
(2) x, y, 2, pがすべて素数ならば, x, y, zのうち少なくとも1つは3である。
を図
〈大阪府·大阪市〉
00

*+3,y+3,2+3と仮定する。
このとき、x, 9, zがすべて素数である
ことから, x, y, zはいずれも3の倍数で
ない。よって、 (1)より, pは3の倍数である。
pが素数であることから, p=3 · ①
一方,x, y, 2がすべて素数だから,
(2) 背理法を用いる。
x22,y22,z22
ゆえに、
p=x°+y° +z?22° + 2 + 22=D 12…②
のと2は明らかに矛盾しているので, x,
y, zのうち少なくとも1つは3である。
(証明終わり)

教員採用試験 数学 証明 背理法 数と式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

小西行長

1により、X、Y、Zが3の倍数でないと仮定すると、Pは 3の倍数になる。3の倍数で素数なのは、3だけなので、P＝3ー①
X、Y、Zは自然数なので、最小の自然数の素数は2
4＋4＋4＝12ー②で①と矛盾する。つまり、X、Y、Zのどれかに3の倍数が含まれることとなる。また、X、Y、Zは素数のため、3の倍数の最小の素数である3が含まれなければ、すべてが素数にはなることは不可能だ。
よって、X、Y、Z、Pがすべて素数ならば、X、Y、Zのうち少なくとも１つは3である。
これが、背理法を分かりやすくしたやり方だと思います。背理法は、まず命題を否定して仮定に矛盾を見つけて、仮定の否定をし、証明をするやり方です。なので、こういった問題は、背理法で解く方がやりやすいと思います。

yinyue

詳しくありがとうございます😭