Question

yinyue

水色の()教えてください。2の倍数でも3の倍数でも無いのは分かるんですけど、何で6で割るんですか？

例題2
平方数の剰余
aを3より大きい素数とする。a?を24で割った余りはいくつになるか。
〈群馬県〉
解答 1
52= 24 +1,72=24·2+1, 112=24·5+1から, 求める余りは1と推
測できる。
aは3より大きい素数なので, 2の倍数でも3の倍数でもない。 よってaを6
で割った余りは1か5である。そこでんを整数としてa=6k±1とおくことが
できる。すると,
a2= (6k±1)2=36k?±12k+1=12k(3k±1 ) +1
となる。ここでんと 3k±1の偶奇は異なるので, 一方は必ず偶数である。よっ
て12k(3k土1)は24の倍数なので, α?を24で割った余りは1である。
解説
ち小

数学 数と式 平方数の剰余 教員採用試験問題

Answer 1

ブドウくん

何で割ったとしても、すべての整数を表すことができます。例えば5で割ったときの余りに着目すれば5k, 5k±1, 5k±2 (kは整数)と書くことで全ての整数が表せます。ただ、割る数が増えるとそれだけ余りのバリエーションも増えて場合分けが増えるのでなるべく少ない方がよいです。
今回の問題では, 2の倍数でも3の倍数でもないという情報を生かせるような場合わけをする必要があります。2の倍数でも3の倍数でもないという条件を満たすような数列は1,5,7,11,...となりますが、これは2と3の最小公倍数6で区切ることによって,(すなわち1,5 / 7,11 / 13...とすることで) 余りが1と5の同じサイクルの繰り返しだと見なすことができます。だから6で割ったんです。

yinyue

丁寧な説明ありがとうございます😭