運動量保存の式とはねかえり係数の式とをうまく連立させられず、いつも解答のように綺麗にまとめられません。コツなどあれば教えて下さい。

Question

ブドウくん · Accepted Answer

よくあるような、止まってる質量mの小球Bに、質量Mの小球Aがv0で追突してくるみたいな問題(振り子がぶつかる問題も含めて)は1パターンなので変形を覚えてしまった方がいいと思います。
ポイントのひとつは、軸をきちんととったうえで、衝突後の速さを「正と仮定すること」だと思います。向きづけでバグると頭が混乱して計算がうまく行かないからです。反対側に跳ね返るときは符号で-が出てきてくれます。
それから、式変形の話ですが
式として出てくるのは
運動量保存の式
Mv0=Mv+mv'
跳ねかえり係数の式
e=v'-v/ v0
(ev0=v'-v)
だと思います。
ここからvとv'を求めるわけですが、一気に求めるのは不可能です。だから、まずvを求める→その次にv'を求めるという風にわけて考えます。このときそれぞれで何を消すかをきちんと考えることが大事です。
<vを求める>
vを求めるときは、vを消してしまったら本末転倒です。となると、消すのはv'かv0です。答えに出てきてほしい(出てきてもいい)文字はv0で、出てきてほしくないのはv'です。なんとなくv0=を代入したくなるのはわかりますが、そうするとv'を残してしまうことになり、求めたはずのvにこれから求めるv'がいてカオスになります。したがって、v'を消すために無理矢理跳ねかえり係数の式をv'=ev0+vに変形してから、これを運動量保存の式にぶちこみます。
Mv0=Mv+m(ev0+v)
あとはv=としてやれば答えです。

<v'を求める>
ここで、さっき求めたvを使って、どちらかの式に代入して解くのもありですが、けっこう分数とか出てきてめんどくさいことになります。だから、さっき求めた答えはなかったかのようにして、もう一回さっきと同じことをした方が楽だと思います。
Mv0=Mv+mv'に対して、今度はv'=としたいのでvを消します。そのために、跳ねかえり係数の式をv=v'-ev0の形にしてやって、運動量保存の式にぶちこんで、v'について整理すれば
Mv0=M(v'-ev0)+mv'
M(1+e)v0=(M+m)v'
v'=(1+e)Mv0 / M+m
と答えが出ます。