✨ ベストアンサー ✨
まず、約数の個数の公式を知っているかが問題です。
詳しい説明はYoutubeの動画を載せておくので知らなければ見てください。
https://youtu.be/mr1pP0HPBKI
(1)
<a> × <b>=4のとき
<a>と<b>の組み合わせは、(1,4)(2,2)(4,1)のみですが、約数の個数が1なんてありえないので<a>=<b>=2となればいいことがわかります。
どんな数も約数として少なくとも、1とその数自身の2個は含んでいて、それ以外は持たないということなので素数のときを考えればいいとわかります。
わかりやすいようにa=13,b=37とかで考えたら、ab=13×37であり、これ以上素因数分解できないのでabの約数の個数<ab>は、約数の個数の公式より(1+1)×(1+1)=4となります。ここで、「3も答えやん」と思うと思いますが、そうなるのは特殊ケースでa=bのときです。a=b=13なら13²となるので2+1=3となります。
(2)
<a>,<b>の組は(1を含むもの除く)
(2,4)(4,2)
の2パターンです。ですが、別にa,bに大小関係がない以上、2つは入れ換えただけなので(2,4)だけ考えればOKです。
<a>=2のとき(1)と同様にaは素数です。
<b>=4のときは、どうするかということですが、約数の個数の公式から
b=●³となり、3+1=4となるか
b=●×○となり、(1+1)×(1+1)=4となるか(●と○は異なる素数、2乗だと個数が3となる)の
2パターンだけです。(素因数分解したときの指数は当然1より大きい。1+1=2より大きい数だけで4を作ろうと思えばこの2パターンのみ)
ゆえに以下のように場合分けができます。
(i)aが素数かつbは(素数)³
例えばa=13,b=31³と考えて
ab=13×31³より2×4=8と求まります。
ただ、(1)と同様でa=13,b=13³のようになる場合も考えたら、ab=13の4乗となるので4+1=5と求まります。
(ii)aは素数かつbは(素数)×(素数)[※bの(素数)は互いに異なる]
a=13, b=31×47とでも思えばab=2×2×2=8と求まります。
さっきと同様
a=13, b=13×47となるような場合も考慮にいれると、ab=13²×31より3×2=6と求まります。
ありがとうございます
最後から5行目のabは<ab>の間違いです。すみません。
ab=13×31×47となるので
<ab>=2×2×2=8
ということです。