どちらも形式(補助)形容詞ですね。文節に区切ると自立語になりますので、付属語である助詞や助動詞にはなりません。
見て/ほしい→「ほしい」は自立語
遊んで/ない→「ない」は自立語
形式(補助)形容詞は「本来の意味を失った形容詞」とされており、特徴は①基本的に漢字で書かない②「〜て(で)・〜く」に接続しやすい、の二点です。「ない」や「ほしい」以外にも「よい(いい)」などがあります。
この/ペンが/欲しい→「欲しい」は形容詞
家まで/来て/ほしい→「ほしい」は形式形容詞
僕には/自信が/無い→「無い」は形容詞
心が/穏やかで/ない→「ない」は形式形容詞
彼は/服の/センスが/良い→「良い」は形容詞
別に/明日は/行かなくても/いい→「いい」は形式形容詞
