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北条氏の姓は平です
つまり、北条氏は平氏の一支流であったのです
平氏は、平治の乱で敗れた源氏の嫡男であった頼朝を伊豆に配流し、その監視役として平氏の一支流であった北条氏を任命しました
しかし、北条氏の子女・政子と頼朝は恋仲に落ち、北条氏は源氏が再興するとその味方に着くようになりました
それがのちの執権政治に繋がるのです
平安も中頃を過ぎると、同じ姓の人間が増え、都合の悪いことになっていたので、苗字を名乗るようになっていました
例えば、室町幕府を営んだ足利氏は、もともと源氏の一支流で、実際明とやりとりするときは源を名乗っていました
さらに、足利高氏（尊氏）とともに鎌倉幕府を滅ぼすことになる新田氏も源氏の一支流です
うまく表現できなくてすみません
本当にややこしい話ですから、あまり深く考えない方がいいと思います
いずれにせよ、このときにはすでに姓の結びつきは薄れてきています
姓（血の繋がり）よりも個々の苗字（家）を尊重するようになっていました
今でも同じ苗字だからと言って家族だとは思わないように
なるほど、じゃあ深く考えるのはやめときます。とにかく、苗字が全く同じとは限らないというふうに認識しておきます。親切で、丁寧な対応ありがとうございました！
北条政子が源頼朝と恋仲になって、北条氏が源氏の味方につくようになった→平安中頃になると同じ苗字が増えてしまったために、苗字を名乗る様になった、北条氏は平氏を名乗っていた、ということですか？それってややこしくないですか？笑