z=f(x,y)のグラフはテキストのようにある閉曲線となります。 今、x,yの絶対値は1以下なので有界でもあります。
極値は必ずしも一つとは限らないけれども、少なくとも最大値は一つの極大値、最小値が一つの極小値となります。
これは極値の定義からです。
厳密には有界閉区間での連続関数は最大、最小値をもうという初等解析学の定理を前提としています。
最大値、最小値の定理みたいなことでしょうか？
この問題ではグラフのイメージで理解したらいいです。
何度も質問ごめんなさい。
もし、この円柱の切り口が平らだった場合も極大、極小値を持つと言っていいのでしょうか。もし、いいのであれば理由も簡単でいいので教えてください。🙇
切り口が平らということは、定数関数なんでそもそもが極値の議論にならないですね。
切り口が斜めに平らだとしても極値の議論にはならないのですか？
もちろんなりますよ。極値はもちろんz座標の値のことですからね！
では、切り口は斜めに平らな場合はも極大値、極小値が必ず存在するということになるのですか？
そうです。その時の極値は最大値、最小値のことになります。
ありがとうございます！！何度も質問してすみませんでした🙇
とても助かりました！
僕もこの問題集で勉強してますけれど、数学科専用でもなんでもないのでそこまで厳密には議論していません。
あくまで一般教養レベルの数学なんで。