Question

ゲスト

これのやり方がわかりません
(オレンジの部分は気にしないでください)

の) 右の図の四角形 ABCD は、辺 AD と辺 BC が平行な 台形です。 直線 BD は対角線で、 EF と BC は平行です。
AD : BC二2 : 3。-EG : GF三4 : 5 として、次の問いに智えなさい。

(1)AE : EB を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

 
  
  
 

 

ーー

とシシルンルン

 

(②) 四角形 AEGD と四角形 BCFG の面積の比を、最も簡単な整数の比で求めな

Answer 1

mo1

(1)の【ＡＥ：ＥＢ＝ＤＦ：ＦＣ＝5：6】がわかっているなら。
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△ＢＧＥと△ＢＡＤについて

　ＡＥ：ＥＢ＝5：6　から、ＢＥ：ＢＡ＝6：11　で

　ＢＧ//ＡＤなので、相似(拡大・縮小)の関係から

　底辺の比、高さの比が共に、6：11　となり

　　△ＢＧＥ：△ＢＡＤ＝36：121　･･･　①
――――――――――――――――――――――――
△ＤＧＦと△ＤＢＣについて

　ＤＦ：ＦＣ＝5：6　から、ＤＦ：ＤＣ＝5：11　で

　ＤＦ//ＢＣなので、相似(拡大・縮小)の関係から

　底辺の比、高さの比が共に、5：11　となり

　　△ＤＧＦ：△ＤＢＣ＝25：121　･･･　②
――――――――――――――――――――――――
△ＢＡＤと△ＤＢＣについて

　底辺の比が、ＡＤ：ＢＣ＝2：3

　高さの比は、ＡＤ//ＢＣから等しいので

　　△ＢＡＤ：△ＤＢＣ＝2：3　･･･　③
――――――――――――――――――――――――
①，②，③　を整理して

　△ＢＡＤ：△ＤＢＣ＝2：3＝242：363

　△ＢＧＥ：△ＢＡＤ＝36：121＝72：242

　△ＤＧＦ：△ＤＢＣ＝25：121＝75：363
――――――――――――――――――――――――
以上から、

　四角形ＡＥＧＤ＝△ＢＡＤ－△ＢＧＥ＝242－72＝170

　四角形ＢＣＦＧ＝△ＤＢＣ－△ＤＧＦ＝363－75＝288

　四角形ＡＥＧＤ：四角形ＢＣＦＧ＝170：288＝85：144

ゲスト

なぜ5:6なんですか？

mo1

5：6　は、最初の

「(1)の【ＡＥ：ＥＢ＝ＤＦ：ＦＣ＝5：6】がわかっているなら。」

の所しかないと思うのですが…

オレンジの部分は気にしなくていいという事だったのですが

(1)の説明という事でしょうか？

ゲスト

はい

mo1

一例です
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求める辺の比を、ＡＥ：ＥＢ＝p：q

ＡＤ：ＢＣ＝2：3　より、ＡＤ＝2x、ＢＣ＝3x

ＥＧ：ＧＦ＝4：5　より、ＥＧ＝4y、ＧＦ＝5y

とします
――――――――――――――――――――――――――――

ＡＤ//ＥＦ//ＢＣなので、
　ＡＥ：ＥＢ＝ＤＧ：ＧＢ＝ＤＦ：ＦＣ＝p：q

△ＢＥＧ∽△ＢＡＤ　より、ＢＥ：ＢＡ＝ＥＧ：ＡＤ　で、

　　q：(q＋p)＝4y：2x　から、q＋p＝(2xq)/(4y)＝(xq)/(2y)

△ＤＧＦ∽△ＤＢＣ　より、ＤＧ：ＤＢ＝ＧＦ：ＢＣ　で

　　p：(p＋q)＝5y：3x　から、p＋q＝(3px)/(5y)

q＋p＝p＋q　なので、

　(xq)/(2y)＝(3px)/(5y)　から、

　　　(q/2)＝(3p/5)

　　　　 5q＝6p

p：q＝5：6　となり

　ＡＥ：ＥＢ＝5：6

――――――――――――――――――――――――――――
という感じです

ゲスト

もう少し小学生までの内容で説明してくれませんか？

mo1

小学校風にいきます。図に補助線を描いてください

Ｄを通を通るＡＢに平行な直線を引きＧＦ，ＢＣとの交点をＰ，Ｑとします
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ＡＤ＝ＢＱ、ＡＤ：ＢＣ＝3：2　なので、ＢＱ：ＱＣ＝2：1

ＢＣ//ＧＦ　より、ＧＰ：ＰＦ＝2：1　で、

ＧＦの比(5)を基に、ＧＰ＝(10/3)、ＰＦ＝(5/3)

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△ＤＧＰ∽△ＢＧＥで、ＤＧ：ＢＧ＝ＧＰ：ＧＥ＝(10/3)：(4)＝5：6

平行線の性質から、ＡＥ：ＥＢ＝ＤＧ：ＧＢ＝5：6

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補足：一般の小学校では拡大･縮小の単元で、相似な図形の比や長さを習いますが

　　　平行線の比等を併用した問題は習いません。

　　　その意味では、中学受験等の小学範囲を逸脱？した問題です。