この回答がベストアンサーに選ばれました。

少々計算が複雑ですが、やっていることは解の公式と有理化だけなので、その2つができているかを再度きちんと確認しておくといいと思います。

解くだけなら練習を積めばなんとかなります。しかし、この問題の本質は計算練習ではありません。この問題の意味は、3枚目につけた【補足】にあります。

ブドウくん

もちろん、中学校では習わない内容なので、必ず覚えないといけないかと言われればそんなことは決してありません。しかし、答えの過程を見てもらえれば、わざわざ解の公式やら因数分解やらしなくてもいいので計算量が圧倒的に少なくなるので、確実にアドバンテージになるのはわかってもらえると思います。(例題2に関しては、あまりいい問題が見つからなかったので、そこまで正攻法と計算量は変わらないけど)
写真の問題の別解と例題1,2の解答を載せているので、参考にしてみてください。

シアン化カリウム

ありがとうございます☺️
解と係数の関係は知らなかったです。覚えた方がいいですね

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回答

読解力の問題です. 我慢強く文章に付き合って, 何を証明すべきか理解することが大事です.
この問題では最初の具体例の手順[方程式を解く→逆数の和をとる→係数比と比較する]を踏まえると解きやすいでしょう.
***
(1) この問題は違う具体例で予想が成り立つか確認するのが目的です.
解の公式から, x^2-2x-9=0⇔x=1±√10です.
解の逆数の和は{1/(√10+1)}-{1/(√10-1)}={(√10-1)/9}-{(√10+1)/9}=-2/9[有理化]と計算できます.
一方, 係数比-b/cは-(-2)/(-9)=-2/9なので上の計算結果と一致します.
以上から田村さんの予想は正しそうだと推測できます[すべて確認したわけではないので推測と書きました].
***
(2) 一般的な場合について予想の証明を試みます.
ax^2+bx+c=0, a≠0[2次方程式だからです], c≠0の解は解の公式からx={-b±√(b^2-4ac)}/2aです.
解の逆数の和は[2a/{-b+√(b^2-4ac)}]-[2a/{b+√(b^2-4ac)}]
=[2a{-b-√(b^2-4ac)}/4ac]-[2a{b-√(b^2-4ac)}/4ac] [やや煩雑な有理化です. c≠0はここで活きます.]
=-4ab/4ac=-b/cなので田村さんの予想が一般に正しいことが示されました.

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