ページ1:

漸化式と数列
1
anti = an+d 型
< 等差数列 >
01, 02, 03,
V V V
+d+d+d
On, Ont....
♡
+ d +d
[例] 数列fan}の一般項を求めよ。
L
a1=1,an+1=an+2 (n=1,2,3,....)
01-1
On+1
=an+2
これは初項1、公差2の等差数列だから、
On=1+2(n-1)
On=2n-1
Date

ページ2:

2
ant1= ran型
<等比数列>
a02
03,
an
V
EX
xr. xr
XY
XY
xr
[例] 数列fan}の一般項を求めよ。
a1=2,anti=3an(n=1,2,3)
01=2,ant1=30n
これは、初項2,公比3の等比数列だから、
On = 2·3n-1
ふい

ページ3:

Date
3.
An+1
=
an + fin)
<階差数列>
O₁, A2, A3, An-1, On, An+1, *****
V V
+fu) +fies
an
=
V V
+fin+) +fin)
Ar+ fins + f(z)++
n-L
=
[例] 次の数列{an}の一般項を求めよ。
a₁ = 0, On+1 = Anth²
A₁ = 0, On+1 = An+n²
(n = 1,2,3,)
Ok+1 = Ok + k² = fck)
n≧2のとき
On = 0 +
52
=
k=1
(n-1)(n+1)2(n-1)+1}
n(n-1) (2n-1)
... an = fn (n-1) (2n-1)
a1=0となるので一致し、
an = n(n-1) (2n+1)
(n22)
n=1t
代入した!

ページ4:

ite
anti=pan+g型 <特性方程式〉
(P + 1, & + 0 )
[例]
[解法]
a1=0,anti=3Qn+2(n≧1)で表される
数列fan}の一般項を求めよ。
a₁ = 0, An+ 1 = 3an + 2
antl
-)
=
3an+2
30+2
anti-d=31an-d)+
an+1+1=3(an+1)
n+1 公比 n
数列{an+1}は、
初項:Q1+1=0+1=1.
公比:3
の等比数列だから、
an+1
=
13-1
an=3n-1-1
0=30+2
-2d=2
d=-1を代入

ページ5:

[154]
[解法]
a10.antl30n+2(nal)で表される
数列an}がある。
(1) bn=am-old定数)とおくと、数列は
等比数列となる。このようなαを求めよ。
(2)数列{n}の一般項 bnを求めよ。
(3)数列fan}の一般項anを求めよ。
(1) bn=an-dとおく。
boti=anti-d
... an = bn+d
(anti=bntl+α)
これをOn+1=30万+2に代入
bn+1+α
=
3(bn+d)+2
bntl
=3bn+20+2
①
等比数列は、
①より、数列1bn}が等比数列となるためには、
20+2=0
d=-1
(2)①より、αニー1を代入すると、
bntl=36m
bntirbnの形
(20+2が不要。)
数列{n}は、
初項:bi=ai-d=-1 1246:3
の等比数列だから、
bn
=
1.3n-1
(3)(2)より、
an-d=3n-l
bn = 3n-1
an=
3n-1-1

ページ6:

5
An+l
=
Pan+fin)
[191]
[解法]
a= 1, Ant=30n + 4n (n = 1) 7"
表される数列fan}がある。
(1) An+ 2n = bnetické, bn, bu+ Poll=
成り立つ関係式を求めよ。
(2) bnを求めよ。
(3) anを求めよ。
(1) bn An + 2n εtiko ←
bn+an+21h+1)
. On = bn - 2n
-
Anti bnti 2(n+1)
これを代入して、
bnt
2(n+1)=3( bn-2n) + 4n
bn+1
=
3bn + 2
(2)
bnti
=
3bn + 2
-2α=2
-) α
=
3 α +2
α=1
bn+1 + 1 = 3 (bn + 1 )
$754460+1712
I b₁+1=4
公比:3
bn+1=4.3-1
bn = 4·3h-1-1
(3) bn = On+2n = 4·3n-1-1
の等比数列だから、
On = 4.3n-1 2n-1

ページ7:

b
anti=pan+gn型(P=0.1,g≠1)
[例] a1=0Qmtl=2an+(-1)ntl (n31)で
定義される数列fan}がある。
an
(1) bn=9とおくとき、bnetをbnで表せ。
(2) bnを求めよ。
(3) anを求めよ。
a1=0,anti2an+(-1)ntln争がでてきたら
[解法1] ph+1で割る。
やることは割り算
(1) bn=
an
bnell
2n
anti
2n+1
20ne
2n+1
とおく。与式を2ntlで割ると、
2an
1-115+1
=
(2)
bn+1
+
2h+
(-1/2)+1
bn+(-1/2)n+1
→階差型<ant=an+f(n)>
an
2
①
階差数列はとりあえず書き出してみる。
(-1/2)^2+(-1/2)+..+(-2)
⇒初項:1/4、公比:-1/2項数:n-1
☆等比数列の和の公式
(和) (初)(1-1)
=
1-(比)