ページ3:

カ
(2)太郎さんは, ① を変形するとΣbk=an -α となることから, 数列の和を
求めるために次のことを考えた。
k=1
発想
ある数列{dn}の和を求めたいときは, 数列{c}で,{c}の階差数列が
{d}となるものを見つければよい。
太郎さんは、この発想に基づいて,一般項が
dn = (2n+1)・2"
で表される数列{d}の和を求めることにした。
数列{c},{c} の階差数列が {d} となるもの, すなわち
(2n+1) ・2" = Cn+1 - Cn
(n=1,2,3, …)
となるものを見つけたい。 太郎さんは, {dn}の一般項がnの1次式と2” の積で
あることから,{c} の一般項が
Cn =
=(pn+g)
2"
と表されるのではないかと考えた。ここで,p, q は定数である。このとき,
Cn+1 - Cnをn, p, q を用いて表すと
Cn+1
Cn=
n+
サ
2"
となる。
よって, p
=== シ
=
q スセのとき②が成り立つ。
(数学II, 数学B, 数学C第4問は次ページに続く。)

ページ4:

以上のことから,すべての自然数nについて,数列{d}の初項から第n項ま
での和は
宮山
Σ dk
-
ソ
2n+1+ タ
k = 1
となることがわかる。
サ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
O Þ
①g
② 2p
③
2q
④ (p+g)
⑤ (2p+g)
⑥ (p +2g)
⑦ 2 (p+g)
の解答群
◎n 1
① n+1
③ 2-1
④ 2n+1
②
2n
3
⑤ 2n+3
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第4問は次ページに続く。)

ページ5:

(3) 花子さんは,一般項が
dn=(n2-n-1) 2"
•
で表される数列{dn} の和を求めることにした。 (2) の発想に基づいて考えると,
すべての自然数nについて, {d}の初項から第n項までの和は
n
Σ dx =
チ
•
2n+1
ツ
k = 1
dk
となることがわかる。
チ の解答群
O3 n-3
③ 5n + 7
⑥ n2 +3n-3
⑨ n2-5n +7
① 3n+3
④n
-1
- n-
⑦n2-3n+3
②
5n-7
⑤n2 + m +1
⑧n2 +5η-7

ページ6:

第4問 数列
2026 年 共通テスト: 数学Ⅱ・数学B・数学 C
自学 © Akagi
an+1=a+b
n
階差数列型の
(1)a=1,b=4n-1 (a+1=a,+4n-1)
(i) b, =4×1-1= 3 より a2=a+b=1+3 = 4
漸化式
b2=4×2-1=7 より α3 = a2+b2=4+7=11
(ii)n ≧ 2 とすると、 階差数列の一般項の公式により
n-1
n-1
a„ = a₁ + Σ b₁ = 1 + Σ (4k − 1) = 1 + 4 ⋅ — (n−1) · n − (n − 1)
n
k=1
k
k=1
2
-
=2n2-3n+2

ページ7:

➡: d = (2n+1).2"
(2)
Cn+1 - Cn = (2n+1).2"
Cn=(pn+g) 2” とすると
.
n
②
С+ − C = {p(n+1)+q}·2"+1 - (pn+q).2"
n+1
n
☑
=
•
2(pn+p+q) 2" − (pn+q)·2″
= (2pn+2p+2q- pn-q).2"
= {pn+(2p+q)}.2"
2=P
これと②をみくらべて
p=2, q=-3
1=2p+q
これらをに代入して cm=(2-3).2", c = -2
k
±5Σd₁ = d₁+d₂+d¸ + ··· +d„
k=1
2
Cn は dn の階差
= (c₁₂ − c₁ ) + (c₁₂ - € ₂ ) + ( × 4 − × 3 ) + ··· + (C n+1 - cm)
Cn+1 - C₁
n+1
= {2(n + 1) −3}· 2"+¹ − (−2)
= (2n − 1) • 2+1 +2

ページ8:

(3)
d = (n²-n-1) 2"
n
(2)とおんなじことをやっていきます。
c₁ = (an² + bn + c).2"
n
とおくと
Cn+1 = {a(n+1)² +b(n+1)+c}· 2'
n+1
= {an² +(2a+b)n+(a+b+c)}. 2"+1
=
イーアより
{2an² + (4a+2b)n+(2a+2b+2c)}.2"
C+1 - C₁ = {an² + (4a+b)n+(2a+2b+
n
d₁ = (n²-n-1). 2"
n
2b+c)}.2"
これらの左辺が等しいから右辺のn の係数をみくらべて
a = = 1
4a+b= −1
2a+2b+c=-1
よって、これらをアに代入すると
a = 1
b=-5
c = 7
c₁ = (n²-5n+7).2", c₁ = 6
n
n
(2)の構想より Idk
k=1
= c,
'n+1 C₁₂₁
= {(n+1)² − 5(n+1)+7}. 2"+1-6
= (n² −3n+3) • 2+1 − 6