ページ3:

(3)前半
3
(2)より OP =-x-a+(1 -)b
4
1→ 1
=-a+-b
2
また DB
-a
3
OP ⊥ DB より, OP DB=0だから
ベクトルの垂直条件
²±²a+²±² b)•(— — — a+b) = 0
-lap+=ab+ +2161=0
3
1→
←
101=3,161=4より 12×32+1/30.6-
+-a·b+ x42=0
4
したがって
a b = -3
後半
||OD|=--|OA
OQ がOBの何倍か求める。
OQ=kOB とおくと, OB⊥EQ より
OB.(kOB-OE)=0
∴k|OB2-OBOE = 0
·· k|b|² −b · (a + —±b) = 0
∴kx42-(-3)
-3)-1/2x42=0
5
よって1001=21610
-|OB|
16
∴. k
(4)
=
5
16
△ODQ の面積をSとすると, ③と④より
-x_xS=S
2 16
△OAB の面積は
35
24
5
平行四辺形 OACB の面積は, △OAB の面積の2倍だから
48
5
5
したがって, △ODQ は平行四辺形 OACB の
倍圈
48

ページ4:

【2023年】
OA = 3, OB = 5, ∠AOB = 120°の△OAB があり,辺ABの中点
=
をLとする。 また, OA =a, OB = bとする。
(1) OLをa, bを用いて表せ。また,内積a・bの値を求めよ。
(2) 辺 OA の中点を M, 辺 OBの中点をNとし,点Cを
15LC-5MC-9NC=0となるようにとる。 OC を a, b を用いて
表せ。 また, 直線 OC と直線 AB の交点をDとするとき, ODを
a, bを用いて表せ。
(3)(2)のとき,点 C から直線ABに引いた垂線と直線ABの交点を
Hとする。 OHをa, b を用いて表せ。 また, 線分 DH の長さを
求めよ。

ページ5:

1
【2023 年:ベクトル】
70Akagi
b
(1) OL
a+b=a+b
1
2
2 2
a·b= |a||b|cos 120° =3×5×
(2) 15LC-5MC-9NC = 0
→>
1
2
--
15
2
15(OC-OL)-5(OC - OM) - 9(OC-ON) = 0
.. OC=150L - 50M - 9ON
1
→→
=15
1
=a+-b
2 2
·5×·
=5a+3b
OD=kOC=k(5a+3b) = 5ka + 3kb
共線条件より
係数和1の法則より
したがって
OD
=
5-8
→
a+
b
13
3-5
5k+3k
= 1
.. k
=
1

ページ6:

(3) OH = (1 - t)a + tb ･･････ とおき, AB⊥CH からの値を求める。
ベクトルの垂直条件より
AB CH 0
AB=b-a, CH-OH-OC = (-t-4)a + (t − 3)b¹)
(b-a) (-1-4)a+(t−3)}=0
-(t−4) | a |² +(−2t−1)a·b+ (t−3)|b|²=0
|a| =3, |b|=5, a-b=-15 ki
より
2
15
− (−t −4) × 3² + (−2t −1)×
9
+(t −3) × 5² = 0
2
14
9
9
これを※に代入すると OH = (1-
-)a+
-b
14
14
5
==
14
←
->>>
a+
9
14
15
->
15
このとき DH = OH-OD
--=
2
15
よって
DH|2
=
56
56
2
15
=
56
56
a+b
56
=
15
2
(a² -2a·b+ b²)
1 {33-2×(-1/2)+5}}=(1/8×7)
56
15
|DH|>0 |DH| =
8

ページ7:

〖2022年〗
OA = 3, OB = 4, ∠AOB = 60°の△OAB がある。 また, 辺 AB
の中点を M, 辺 OA を 2:1 に内分する点を N, 線分 BN をs:(1-s)
(0<s<1)に内分する点をPとする。 また, OA = a, OB = とする。
(1)OMをa を用いて表せ。 また, 内積a の値を求めよ。
→
•
(2) OPをs,a,b を用いて表せ。 また, 点が線分 BN と線分 OM の
交点であるとき,sの値を求めよ。 さらに, OP を a, b を用いて表せ。
(3)(2)のとき, 線分 BP を直径とする円と辺 ABとの交点のうち, B でな
AQ
い方の点を Q とする。 このとき,
の値を求めよ。
QB

ページ8:

(1)
OM
→>>
→
10A + 10B
1+1
=
a. b
=
-
→
【2022 年:ベクトル】
自学©Akagi
1
1
a+
.b
2
2
| a || b | cos 60°
60°
= 3x4x
=6 劄
2
(2) OP = sON + (1-s) OB
OP=SON+ s)OB
2
==
3
→→
sa + (1-s)b
OP=kOM
1
1-s
N
P
[U
①
国
M
①
共線条件
A
1
=-
-ka+
・kb
2
2
万は1次独立だから22-2124 (1-3)=1/24
よって OP=
2-5
== a+
2-5
b
=
3
3
(k=1/2)
5
S
①
HB
m

ページ9:

よって
また
(3) AQ:QB= (1-t):t とすると,
OQ=ta + (1−t)b
2.
3
±³T PQ=OQ-OP = (1-3)a + (²−1)b
(t
AB=OB-OA = -a + b
5
直径に対する円周角は90° だから PQ ⊥ AB
よって, ベクトルの垂直条件より
PQAB = 0
2.
(t
2
5
(t −²²) | a |² +(21 −1)à·b+(¾³{−1) |5|²= 0
=3,|6| =4,a.b=6より
|a|=3,
(1-2)×32+(21-1)×6+62-1)×42=0
{ (1 − ²³½³ a₁ + (² ²-1)b } · (−a + b) = 0
==
3
5
5
36
(0<t<1を満たす)
65
AQ
よって
28
1-t
36.
36 29
=(1
笑
÷
QBt
65 65
36