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H.27 1月進研記述高2模試 @自学 B6 OA = 2, OB = 1, ∠AOB = 120°の△OAB がある。 点CをOCOA +2ABで定め, 点PをOP=kOA (0<k<1) で定める。また,OA =a, OB=bとする。 (1) 内積abの値を求めよ。 また, OC を a, b を用いて表せ。 (2) 線分 AC を 1:2 に内分する点を D, 線分 OC の中点を M →>> とし,△PDM の重心をGとする。 OGをk, a, b を用いて表 せ。 また, 点 G が辺 OB 上にあるとき,kの値を求めよ。 (3)(2)の点 G が辺 OB 上にあるとき, 点G から直線 PD に引い た垂線と直線 PDとの交点をHとする。 PH = PD と表される とき,実数の値を求めよ。 (配点 40)
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→ 自学 1 (1)|a|=2,|6|=1, cos∠AOB=- -を内積の定義に代入すると a・b = |a|| b|cos ∠AOB = 2x1× = 2 -- = -1圀 また、始点の統一により 2 OC = OA + 2AB = OA+2(OB-OA) = -a + 26 2 120° 1 A B
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(2) 前半
P
自学
M
問題文より OP = ka
M は OC の中点だから
1
-
2
2
OC = -a+2b
1
OM = LOC=(a+b)=a+b
内分点の位置ベクトルの公式より
--
2
OC=-a+2b
20A + 10C
2
OD
=
1+2
3
OA+-OC
3
2
-
1
=-a+
(-a+2b)
= a+ -b
3
3
3
APDM T.
重心の位置ベクトルの公式により
OG = 1 (
(OP + OD + OM)
5+OM)
3
1
→
後半
2
— — {( kā ) + (±² à + ²³½³ ) + ( −²±² à + b ) }
3
6k-1 5
18
a+
ここが0
9
a+ b)
3 3
-b
G が OB 上にあるとき、 OG = ab (α:実数)と表されるので、
6k-1
0
18
1
よって
k
=
(条件0<k<1を満たす)
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P 自学 A ① D (3) G が OB 上にあるとき、(2)より G M C PH⊥GH == OP=17, OG = 5 -b ベクトルの垂直条件により 6 9 PH・GH=0 また、始点の統一により 1 2 PD = OD – OP = (- +-b) -- a = -a+ -b 3. 6 6 3 同様に GH = OH - OG ① ここで PH=tPD=t (OD-OP)=t(-a+ よって、①は GH = (OP+PH) -OG → .b 3 3 1 1 → 2 → 5 = a+ 6 6 ta +=tb ・b 3 9 つ・づ・く 詞 = 1 -ta + 6 2 tb 3
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つづき
PDIGH だから、 ベクトルの垂直条件により
PD・GH = 0
よって
分母をはらって
.t+1
6
→>
6t-5-
·b)
9
(a+4b){(3t+3)a+ (12t-10)
(3t+3)| a |² +(24t+2)a·b + (48t−40) | b |²
→
|a|=2, |6| =1, ab=-1を代入して
= 0
= = 0
= 0
(3t+3)×22 + (24t+2)×(-1)+(48t-40)×12=0
1次方程式を解くと
36t=30
5
==
6
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