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V2が無理数であることの証明
命題1 (正の平方根の存在)
以下の条件
x2=2>x>0
を満たす実数 æER が1つだけ存在する。
証明
実数空間 ] の部分集合 A を、
A={æ∈R|x>0<x<< 2}
と定義します。
【Aが非空であることの証明 】 0<x<1を満たす実数 ∈Rを任意に選ぶと、 x2 <1
すなわち22が成り立つためæ∈A です。 したがって A ≠中であることが示されまし
た。
【Aが上に有界であることの証明】 y > 2 を満たす実数 y∈R を任意に選ぶと、Y2 > 22
すなわち 2>2が成り立ちます。 æEAを満たすæER を任意に選ぶと、 A の定義より
x>0 かつ x2 <2が成り立ちますが、これと 2 <y2 より x2 <y2 を得ます。 æ0 よ
り、このとき y > x です。 つまり、 A の任意の要素よりも大きい実数 y が存在するた
め、 A が上に有界であることが示されました。
I
sup A が存在することの証明】 Aは非空かつ上に有界な 凪 の部分集合であるため、 実数の
連続性(上限性質) より sup A が存在します。 一般に、 の部分集合が上限を持つとき、それ
は1つの実数として定まります。 したがって sup A は1つの実数です。
【sup A > 0 の証明】 A の任意の要素は正の実数です。 sup A は A の上界でもあり、これ
は A の任意の要素以上の実数です。 したがって sup A > 0 が成り立ちます。
【 (sup A)2 =
= 2 の証明】 まずは (sup A)2 < 2 が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。
sup A > 0 であることも踏まえると、このとき、
2- (sup A) 2
2 supA + 1
>0
が成り立ちます。 すると、 アルキメデスの性質より、
2-(sup A)²
2 sup A+1
. (1)

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2
(supA + 1) = (supA)2 +
< (sup A)2 +
を満たす自然数 n EN が存在します。 このとき、
2 sup A
n
2 sup A
n
+
+
2 supA + 1
1
2
n²
1
n
nEN
< (sup A)2 +
n
< (sup A)2 + (2 sup A +
2- (sup A)2
2 sup A +1
**(1)
=
= (sup A)2 + 2- (sup A)2
すなわち、
(sup/
2
= 2
1
sup A+
<2
n
が成り立ちますが、 A の定義より、 これは、
1
sup A + - ∈A
n
が成り立つことを意味します。 つまり、 sup A より大きい A の要素が存在しますが、これは
sup A が A の上限であることと矛盾します。 したがって (sup A)2 2 は成り立ちません。
続いて、 (sup A)2>2が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。
踏まえると、このとき、
sup A > 0 であることも
(sup A)2-2
2 sup A
>0
が成り立ちます。 すると、 アルキメデスの性質より、
(sap A)2-2
n
2 sup A
(2)
を満たす自然数 n EN が存在します。 このとき、
2
n
(sup A-1)² = (sup A)² -
2 sup A
1
+
n2
> (sup A) 2
n
> (sup A)²
=
= (sup A)2
n
2 sup A
(2 sup A).
nEN
(sup A)2-2
(sup A)2 + 2
2 sup A
(2)
= 2
すなわち、
2
(sup A +=+12) ³ >>
n
2