この問題は2023年度第1回全統記述模試の数Ⅲ型の過去問を解いていた時、ネットで見つけた良問です。
一見「連立漸化式」の解法で一般項が求まりそうに思いますが、ゴリ押しで進めると詰みます。
問題の誘導に従って計算すると、一般項が自然に求まり、最後の図形の面積に辿り着ける。
一度は解説を見ずに一人で解いて、力試してほしいと思います。