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2次関数 (公式集) 【数学】
[関数 f(x) ]
xの値が1つ決まると, yの値がただ1つ決まります。 このようなとき,yはxの関数で
あるといいます。
yxの関数であるとき, yを表すx の式を f(x) や g(x) のように書くことがある。 x
| の関数y=f(x) を単に, 関数 f(x) ともいう。 関数 y=f(x)において,xの値αに対応
して決まるyの値をf(α) と書き, f(a) を関数 f(x) の x = α における 値という。
[座標平面上の点と象限]
平面上に, 右の図のような点0で垂直に交わる2本の数直線
をとり,それらをx軸と軸とする。 点0を原点といい,x
軸と軸を座標軸という。 この平面上の点Pの位置は,図のよ
うに2つの実数の組 (a, b) で表される。 この組 (a, b) を点Pの
座標といい,このような点PをP(a, b) と書く。 また, 座標が
(a, b) である点を, 点 (a, b) ということがある。このように
して座標を定めた平面を 座標平面という。 座標平面は座標軸に
y'
P(a, b)
b
a
x
よって4つの部分に分けられる。 これらの各部分を象限といい, 右の図のように,それ
|ぞれを第1象限, 第2象限, 第3象限, 第4象限という。
C h
A(a, b)
第2象限
第1象限
#
点(a,b)
第3象限 第4象限
[1次関数のグラフ]
[x軸に関して対称な点 (a, b)
-a
a
x
B
軸に関して対称な点 (-a, b)
原点に関して対称な点 (-α, -b)
関数y=f(x) のグラフとは,関係 y=f(x) を満たすような
点(x, f(x)) 全体で作られる図形のことである。 また,関数の
xの係数→傾き
y= @x+b
定義域のxの値に対応してyがとる値の範囲を,この関数の値域
という。
定数項 → 切片

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[1次関数の最大値・最小値]
|関数の定義域のxの値に対応してyがとる値の範囲を,
この関数の値域という。
y
関数のグラフ
最大値
関数の値域に最大の値があるとき, その値を関数の
値域
最大値という。 また, 最小の値があるとき,
最小値
その値を関数の最小値という。
0 定義域
x
[y=ax2 のグラフ]
y=(xの2次式) で表される関数を,xの2次関数といいます。
例 右の図は, 2次関数y=ax2 のグラフです。
y^
それぞれ,
12
Ly=3x20
11
y=x2,
y=3x2,y=-x2,y=-3x2
10
を表しています。
9
2次関数y=ax2 のグラフの形は,放物線 とよばれる
曲線です。 放物線は左右対称で, その対称軸を放物線の
8
7
ly=x
6
軸といい, 軸と放物線の交点を頂点といいます。
5
4
[1] a > 0 のとき
←
-図 [1] のように,
3
下にふくらんで
いる放物線は,
下に凸
下に凸であると
-4-3-2-
いいます。
頂点
O
x
-2
3
上に開いていると
もいえます。
-5
←
[2] a< 0 のとき
-図 [2] のように,
Ly=-x2
6
y ↑
上にふくらんで
-7
頂点・
いる放物線は,
-8
上に凸
上に凸である
=g
-10
といいます。
11
下に開いていると
-12y=3x2
もいえます。

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[平方完成]
2
x2+ |x=|x+
半分1
2
[2次関数のグラフの平行移動]
y=ax2
-2
x2-
x=x
2
2
半分
y
y=ax2
V
x
-x 軸方向に
だけ平行移動し
軸は y 軸(直線x=0 )
頂点は原点 (0, 0)
y=ax2
y=a(x-p)2
y=a(x- p)²
→
Þ
x
x=p
軸は直線x=p
頂点は点(p, 0)
y 軸方向に q
`x 軸方向に♪
y 軸方向に q
だけ平行移動
y軸方向に q
だけ平行移動
だけ平行移動
y=ax2+q
y. y=ax2+q
y=ax2
軸は軸 (直線x=0)
頂点は点 (0,g)
x
-x 軸方向にか
だけ平行移動し
y=a(x-p)2+q
yy=a(x-p2 + g
y=ax2
q
Þ
x
x=p
軸は直線x=p
頂点は点(p, g)

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[2次関数の最大・最小]
yはxの関数とします。 yの値が
最も大きくなるとき, その値を,関数の最大値
最も小さくなるとき, その値を, 関数の最小値
といいます。
yの値が
大きくなる
yの値が
小さくなる
グラフの例
a>0のとき
V
頂点で
最小
最大値
最大値はない
最小値
x=pで最小値 g
x
a< 0 のとき
頂点で
最大
x=pで最大値 g
最小値はない
[頂点や軸から2次関数の決定]
Step1: y=ax-p)2 +αでスタート。 頂点や軸の条件を代入する。
Step2: 通る点の座標を代入する。
Step3 Step 2で得られた方程式を解く。
x
頂点
y=a(x- '+
軸 x=|
[連立3元1次方程式の解き方]
Step1: (真ん中の方程式) (上の方程式), (下の方程式) (上の方程式)を計算してcを
消去し、 a,bについての方程式を2つ作る。
Step2: Step 1でできたa,bについての連立方程式を解く。
Step3: Step 2で求めた a, b の値を使って、 c の値を求める。
[放物線上の3点から2次関数を決定]
|Step1: y=ax2+bx+c でスタート。 通る3点の座標を代入する。
グラフが点
を通る ⇔
1=a2+b+c が成り立つ
Step 2: a, b,c の3文字を含む連立3元1次方程式を解く。

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[2次方程式の解の公式]
(1) 2次方程式 ax2+bx+c=0は、62-4ac≧0のとき解を持ち、その解は
-b±√b2-4ac
x=
2a
(2) 2次方程式 ax2+2b'x+c=0は、 6'2-ac≧0 のとき解を持ち、 その解は
-b' ±√bi-ac
x=
a
[2次方程式の実数解の個数]
2次方程式 ax2+bx+c=0について、 b2-4ac を判別式といい、 Dで表す。
(1) D>0 ⇔ 異なる2つの実数解をもつ
(2) D=0 ⇔ 実数の重解をもつ
(3) D<0 ⇔ 実数解を持たない
[2次関数のグラフとx軸の共有点・位置関係]
(1) 2次関数のグラフとx軸の共有点の座標
D≧0 ⇔ 実数解をもつ
2次関数y=ax2+bx+cのグラフとx軸に共有点があるとき、 その共有点のx座標
は、2次方程式 ax2+bx+c=0の実数解である。
2 2次関数のグラフと x 軸の位置関係 (D=b2-4ac)
Dの符号
D>0
D=0
D<0
x軸との位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点をもたない
共有点の個数
[2次不等式]
2個
1個
0個
ax2+bx+c=0 の実数解
x=α, β
x =α
ない
ax2+bx+c>0の解
x<α, β <x α 以外のすべての実数
すべての実数
ax2+bx+c≧0の解
xa, B≦x
すべての実数
すべての実数
ax2+bx+c<0 の解
a<x<β
ない
ない
ax2+bx+c≦0 の解
a≤x≤ß
x =α
ない
[絶対不等式]
(1) 常に ax2+bx+c>0⇔a>0かつD<0
(2) 常に ax2+bx+c<0⇔ a < 0 かつD< 0

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[連立2次不等式]
Step1:まず、 それぞれの不等式を解く。
Step 2: それらの解の共通範囲を求める。
注意 共通範囲を求めるには、 数直線を利用する。
[連立2次不等式の文章題]
Step 1: 変数 x を決める。
Step 2: Step 1で決めたxの定義域を調べる。
Step3:問題文の条件を、 xの不等式で表す。
Step4: Step3で表した不等式を解く。
Step5: Step 2 と Step4の共通範囲を求める。
[2次方程式の解の符号]
lax2+bx+c=0(a>0) のとき
b 2
D
f(x)=ax2+bx+c =ax+
判別式 D=62-4ac
2a
4a
|とおく。
b
(1) 異なる2解がともに正
⇒
D>0, f(0)>0,
>0
2a
b
(2) 異なる2解がともに正 ⇒ D>0, f(0) >0,
<0
2a
(3) 正の解と負の解⇔ f(0)<0