Cは円の中心、Pは円周上の点なので、直線CPは円の法線になります。
曲線の法線というのは、接線に垂直になります。
どんな円でも成り立つことですから例えば、
単位円 F : x²+y²=1･･･①上の任意の点A(cosθ,sinθ)(0≦θ<2π)が円周上を動くときに、常に
「AにおけるFの接線と直線OAが垂直」
であることを示します。
このときに、二直線が垂直であるときにその二直線の傾きの積が-1になることを利用します。
今回は面倒なので、θ≠0、π/2、π、3π/2 であることにします。
A(cosθ,sinθ)における接線の傾きは、①の両辺をxで微分して、
2x+2y･(dy/dx)=0
∴dy/dx=-x/y
Aの座標 x=cosθ、y=sinθを代入して、
dy/dx=-cosθ/sinθ
一方、OAの傾きは、sinθ/cosθ (=tanθ)
2つの傾きの積を考えると、
-(cosθ/sinθ)×(sinθ/cosθ)=-1
となり、確かに接線とOAが垂直であると言うことが分かります。
θ=0、π/2、π、3π/2 のときは図が分かりやすいと思うので今回は割愛します。
