ページ3:

外分は図を書いた方が分かりやすい
内分途と外分点(m,n=自然数)
No.
Date
(6)数直線の場合
(1)数直線上の2点A(a),B(B)について点
は線分ABを
これに内分する、あるいは、線分ABのm:内分点という。
PはAB上の点、かつ
AP= PB = m = n
PW B
a
b
(ii)点Q(4)は、線分ABをm=nに外分する、あるいはる
線分ABのm=n外分であるという(m/w)
◎はABの延長線上の点
AQQB
A
Q
AS
m = n
m>n
m<
(QはBの延長線上の点)
(はAの延長線上の点)
内分・外分点の座標公式
A(a),B(b)とする。
(1) P(p):ABのm=n内分点のとき
(1)Q(g):ABのm=n外分点のとき
P
mth
例)A(1),B(5)
g=hamb
(m-n
P(p)ABの2:3内分・Qg)はABの2:3外分点のとき
3-1+2x5
B
P=
213
f
1
P
5
A
B
5
31+2×5
2-3
-7

ページ4:

No.
Date
ユリャ退だわ
by きゆな
問6.3
A(1) B(4)
(1) 1:3に内分する点P(p)
(2)中京Q(g)
P
p = 1 x = 1 ± 4² 3
1 4
1+4.3
1+1x4
q -
(+1
4
(3) 1:3に外分する点R(r)
h=
-3-1+1×4
1-3
-2
2
(1)座標平面の場合
y
M
(4)5:2に外分する点(s)
Bro
(man).
(1)点Pが線分ABをmんに内分する点
P
(1)赤が線分ABをminに外分する点
(mon)
0
◎内分点外分点の座標公式
A(x1,y2)、B(x2,y2)とする
(i) P(x,y)=ABom:n内分点のとき
X =
nxi+mx2
mth
(ii) Q(x,y): ABの
x
nyi+mys
y =
mth
ん外分点のとき
のm=h
_nxi+ma
m-n
y==hgi+my
m-n

ページ5:

'
平行線と比の性質
No.
Date
14
を用いると、x軸・y軸に
(m
m=h=m: W
おける〆点・外分点の座標公にもの
場合に帰着される。
例 6.3 A(5,2),B(-1,5)について、
P(pup2):ABの2、30分時は
P
þ
3×5+2x(1)
273
3×2+2×5
2+3
◎(81)(2):ABのコン外分は
35+2₤1)
G
02=3×(-2)+215
9g
5-3
-
17
-16
P(+)
Q(17-16)
A
例題 6.2 点A(-1,ヨ)について、P(4,2)と
対称な点の座標は?
My
Q(x,y)とすると、
点AはPQの中点なので、
417
2
-1
(2gy=4
2
y
(3-4 :- (-6,7).

ページ6:

No.
Date
三角形の重心の座標
中線:三角形の頂点とそれに向かい合う辺の
中点を結ぶ線分
(事実 3本の線は人で変わる。
重心といいGで表す。
◎重心の性質
重心G
重心は、各線をユントに内分する。
☆三角形の重心の座標公式
A(y))、B(オリコ)、C(xxys)を
頂点とする△ABCの重心Gの座標は
(223-24-4-43)
例の座標は?
30
G
(x,,Y₁)
(x2,y)
(2012:24}
(11274, 1+2+3)
3
2
-0
°
2
4.

ページ7:

No.
Date
62直線の方程
復習
good point
y=mun
求
傾き
切片
・ラフが描きやすい!
(oin)
ay
欠点:①直線の傾きと切れの値が必要。
そこで
②y軸に平行な直線は表せない。
直線の傾きと直線上の任意の1点が
分かれば利用できる直線の方程式を学ぶ。
②意の直線を表すことができる
直線の方程式を学ぶ、「一般形」という
・① (1) 傾きと通る徳が分かる場合
→
点(てい)を通り、傾きがmである直線の方程式は
y-y2=m(sc-x2)
点(x,y)を通り、軸に平行な直線の方程
週lのは
XC X1
=
ay
em
/(zig)
-。 (x1,y₁)
->x

ページ8:

No.
Date
(竹)通るの点が分かる場合
2点(x,y) (2,2)を通る直線の方程式は
42-y₁
y-gi
=
-(x-x1)
x2-x;
(x)牛のとき)
x=x1(x=2のとき)
y ↑
82
y₁
x2
例6.4点 (1,3)を通り、傾-2の直線の方は
4-3=-2{2-(-1))
E
y=
1=-2x+1
例65 (1) 2(-11) (1,9)を通る直線のは
問6.7
971
4 1 = 1 + 1 { x-(-1) } = y=4x+5
(2)2点(-1,1)(-1,9)を通る直線の方は
x=-1
(1)A(2,1)、B(3,11)
4- 1 = -1 (x + 1)
3-(-2)
8=2x+5.
(3)E(-1,2),F(1,5)
4-2-5-2(x-2)
2=
1-(-1)
» Y = 3 x - 7
2
(2)C(-3,3), D(-3,5)
X=-3
(4)C(-2, 1), H(81)
19-1
4-4
81-21

ページ9:

②直線の方程式の一般形は
ax+by+c=0 (a+037-13b70)
y = mx + n
←
mx+(-1) y + n = 0
x = k
⇔ lx-oy-f=o
No.
Date
例題 6.3 D:x+2y=1
Dicl2の交流は
D:2xc-y=sを通り、かつ原点を通る直線lのは?
el
3
連立方程式
x+2y=1
12c-y=-3
を解いて、(-1,1
よって、の方程式は
y-o=-10(4-0)
⇒ y=-x(答)
交点
Rbi
同6.8 01:30+4y=1l2:50+7g=2の交流と
P(3,2)を通る直線の方
libの交流は
130c+4y=1を解いて、(-11)
50+7g=2
よって、の方程式は
(3-2)
☐

ページ10:

No.
Date
こう
直線の平行と垂直
直線li:y=mx+ni
に対して
ls=y=mso-n
bam
傾きが同じ
(E)
mi=m2
(1)l)とlが平行
0.1182
(2)liとC2が垂直 <=> mixm2=-1
. 2
傾き
12:1
X
1
例題 6.4
(1)点を通るlと平行な直線
lの方程式は?
(2)点を通る&と垂直な直線
l2の方程式は?
(1) ℓ//ℓ なので、
(l1の傾き)=2
ふℓの方は
4-3=2(x-2)
←y=2xc-1.(答)
(2xy-1=0)
by=2x+1
3
P
0
2
( )llなので、
(l2の傾き)+2=-|
⇒(20)=1/
y-3=-1/(x-2)
>> y = √x +4 (72)
(x-124-8-0)
(1)3x+y=1⇔y=3x)(2)2424=39=-1/2
(769 P(-1,-2)
④口頂き-3
y=-300-5
④傾き=-1
34--14-5
同6.10A(-2,1),B(3,5)
5
理
-3m=-1
m=
小

ページ11:

No.
Date
(1)、(2)12y軸に平行な直線(⇔x軸に垂直な直線)の場合は利用できない
l: y=mathly軸に平行でない
き
(2) lill2 mixm2=
1の証明
lilは必要ならば平行移動することにより、
li
y=
mic
Socoro)を通る
b=y=m2x
としても、一般性を失わない
b2
74
×
H2
mil
(2) 確 AOBにおいて
A
[B
②lion mic bon=mod
果符号なので、
mixm20
AAOHO AOBHなので、
OH=BH=AH:OH
⇔1:1m2l=/mc1=1
⇒1m.ml=1
Im
∠AB=90°=AB=0A+OB2
三平方の定理の逆
mixm2=1<Oより
micmoは異符号,mizo,moとしてより
y
LI
HA
Mi
-mz
FT Mix M₂ = -1 I1), M₂ = - mi
図より、
"AB = (mi+m.)
mi
= Mi² = 2 + m² ---③
Ji).
mim2=l
一方、AAOHとAOBt共に直角三角形なので、
三平方の定理より、
OA=OMAH=1m²OOTに採用
+ OB² = OH² + BH² = 1+~+ DOBH
OA OB
mi
=2+mi
③④ より AB=0A+OB°
mi ④
三平方の定理の逆より∠AGB=90°、つまりl、Il2

ページ12:

No.
Date
6.3.軌跡と2次曲線
ある条件を
ある条件を満たしながら
満たす点の
動点Pが描く図形
軌跡
例)(1)2点ABから等距離にある点Pのキセキは
A
B
11
ABの垂直2等分線
(2)点Cからが1だけ離れた点Pのチャチは
中心に半径1の円
軌跡のある条件を満たす点P(x,y)の
方程式
軌跡を表すととyの方程式
例題6.5 20(0,0),A(2,2)について、
条件OP=APを満たす点Pの軌跡の方程式を求める。
(解点Pの座標を
(x,y)とする。
P(大)が
求めるキセキの
A
Pozy
0
->α
1776.11 A(1,1) B(3,2) AP-BP Portet
OP=AP
OP=AP2
↔x-Y*= (x-2)²+(y-2)²
x+y-2=0
直線
(ABの垂直線)
(1)
足の座標を
-b
(x,y)する。
2
AP-BP
パー

ページ13:

円とその方程式
円定点Cから一定のキョリト(20)だけ
離れた点Pのキセキ
No.
Date
P
円の方程式
(標準形)
中心((a,b)径1の円の方程式に
r
1
(x-a)² + (y- b)² = h²
D.
1
特に中心が原点OC0,0)の場合は
X y² = p²
0
点P(x,y)が円の点CP=r
cp=r
← (x-α)²+(x-6)²=4²
nk
例66 中心(1,1-2)、半径3の円の方程式は
(x-1+{リー(=ア=32
<) (x-1)² + (y + 2)² = 9
5610
(1)PC(1,3)店
(x + 1)² + (y-3)² = √5²
0
(P)((-2,0) A(13)を通る
(x+2)+ y² = 18. (6)
(3)A(1,2)B(3,5)を直径の両端
(x-2)+(y-1) (6)
(2,38)
2.0(1,2)
3
J13
(2),(3)
あるかも!!
(ちゃんと出てないげつ)

ページ14:

No.
Date
円の方の一般形・
(i)円の店は次の形で表される。
x²
nylonmyon=0(水)円の間の一般形という
ただし、lm²-4no
(1)逆に⑥(水)が表す図形は
@l+m-An>Done
17
②-m²-4h=0のとき
1点
③l-mancoのとき
12
(水平には)「存在しない」
①) (i) (z-a)² - (y-b)² = p²
x²-202 - A - Y² ~ by + b = r² = 0
I
E) x² + y² + lx +
my + n
=0
l²-m²-4n = (-2a)-(-26)-4(a+b²-1²)
=
4h2>0 (+)OJ)
(ii) x²+ y²+le+my+n-o
<> (Ğ la ) + (y + my) ++n=0
*2
(x+2)-(1)-(-)-(当)+n=0
X-
<= > ( x + 1)² - (y + m² = l² m²-4n.... (x)
①の場合
(*)' <> ()+(y+ 1) = (√l-m²- An)
②の場合:
(木)(2
②③の場合:
2
)=(x)=(1)
(*)コリ(c++(y+0 条件(オ)を満たす実数xに存してい
・・・・(

ページ15:

例6.7
モーチャー64-1-1 が表の図形は
=
No.
Date
1
4+ (x²+42) - (y²-by) + 1 = 0
問613
施
←
f> (x+2)² = 4+ (y-3)-9+1=0
X2
(x-2)²+(y-3)²
=1270
中心(2,3),半径のの円
(4)x+y+x-2y+3=0
⇒(x+1)-1+(y-13-1+3=0
(x+1)+(y-1) = -1 <0.
'
例題66
存在しない・・・()
A(-1,0),B(3,-2),C(1,4)を通る円の方は?
またその中心と半径も求める。
Dont (1)円の中心あるいは
半径が分かる
(2)円が通る点が
3点分かる
解求める円の店を
x+y+le+my+h=0と。
円は3A,B,Cを通るので、
S (-1) + 0 + l(-1) + m⋅ O + h=0
標準形
(x-ap-ly-arを用いる。
一般形
3F28 +0.3+mx(-2)+n=0
•x² + y² + lx + my + n = 0 EA113
14-01-m.4+h-0
-l+n==|
30-2m+h=-13
l+4mth=-17
n=l-1
2l-m=-6
l+2m=
yn
4
1+1=4x-2y-5=0(金)
求めた方を平方完成すると
(x-2)+(x-1)=10
[l=-4 中心(211)√の円(番)
m=-2
n =
-5

ページ16:

No.
Date
冏6.14
(S)(0,1),(3,2), (4-1)を配
求める方程式を
x+y+bx+y+h=0とする。
円は3点を通るので、
[0² + 1² + lx 0 + Mx ] + h = U
→
9+4
16.
++
llx3+m2+n=0
1 +2.4 +mx(-1)+h=0
m+h
30+2m+h=-13
40-mth=-17
n
m-1
3.0+m=-12
4.0-2m=-16
I
M
n
40.
x²+ y²-4a-1=√(6)
例題 6.7 2点A(1,0),B(3,0)からの
キョリの比がAP:BP=3:1である点Pのキセキの方程式は?
解
|
点Pex,y)が求めるキセキの点
⇔AP:BP=3
P(2.4)
△
<=g_7g+y+10=0.
⇔AP=3BP
AP=9BP2
- 4 (> (x+1)²+ y² = 9 {(x-3)²+ y²)
→X
⇔x+2x+y+1=9(-6x+y=9)
⇔8x50x+8+80=0
<>(x-1)-yy10=0 中心(/2/2,0)
≤7 (x-1) + y² = 4
問6.15
各自

ページ17:

=号
No.
Date
参 2点ABからのチョリの比が
AP=BP=m=nである点Pのキセキは
①m=nのとき:ABの垂直り等分線
②mnの
men
·MAN
2次曲線
2次曲線
ABのm=n内分点と
mn外分点を直径の
両端とする円
(Appollonusの円)
T.
xyの次方程式
Om-n
men
B
A
②min
f(x,y)=o (f(x,y)は実数の範囲で因数分解できない)
で表される形
事実 2次曲線は次の3種類に限る
1
楕円 双曲線放物線
1.
○)(
楕円:2つの定点下・下からのキョリの和が
一定である点Pのキセキ
P
PF+PF'=(一定)
負
中心
本授業では、
中心が原点
頂点
12つの焦点王F'は共に軸あるいは軸 横長
を満たす楕円を扱う。
縦長
ごまかせばさい!
下

ページ18:

No.
Date
<まとめ>
(1)横長楕円
今の方程式
x²
a
+1=1(0~80)
②焦点下(c,0),F'(0,0)
TEL. + b² c² »‹ à°² b²
③長軸の長さ20
短軸〃
28
④点Pが楕円の点PF+DF'=20
(i)縦長楕円
①方程式
X
a
+
=1(b>azo)
②焦点下(0,c),F(0,-c)
だし(かつ6(+80=8-02
②長軸の長さ of 短軸の長さ ga
④点Pが楕円のPF+PF1=26
例) (1)+1=1
が表す図形は横長楕円で
C=25-9-16
2つの焦点F,F'は
(4,0),F'(4,0)
-C
-a
-C
※
A F
C
F
A
Bb
FXC
0
a
FX-C
長軸の長さは2×5=10
2×3-6
4
4
074
0
(2)⑥40²+y-16
4.
+
=1)
x² y
長軸の長さ2m4=8
が表す図形は縦長楕円で
短軸の長さ2×2=4
C=16-4=12より
2つの焦点
は
F(0,0),F(0,2F)
+79
2

ページ19:

No.
Date
漸近線
双曲線
双曲線:2つの定点F,F'からの
本授業では、
中心が原点
もりの絶対差が
一定である点Pのキセチ
2つの焦点F,F'は共にX軸の点あるいは軸の点を
[満たす双曲線を扱う。
左石
*
Y
→
まとめ
(1) 左石
①方程式
2
² y²
a
-
b
= 1 (a>o, b>0)
②焦点下(Co),F(-C,o)
ただし、C>かつC=a+b2
③
の方程式
Y = ± 7 X
④点Pが曲線の点PF-PF1=20
(ii)上下(双)
①程式
y= b x
-c-a
---1000,820)
a
②焦点(0,c),F(o-c)
ただし、COかつぐ=a+b2
②
y=x
の方程式:
④点Pが線の赤/PF-PF11=20
C
-b
F
dy
114-fx
a
7-82

ページ20:

No.
Date
放物線」
放物線:定点下と下を通らない直線lかわりにある点Pのキセキ
軸
PF=PH
A
本授業では、
○頂点が原点
○焦点下は軸あるいは釉の点
を満たす放物線を扱う。
HAE
上下教
*F
I
焦点がx軸の
H
右側
は右側
左側
P₁
P
右側
x=-p
[まとめ]
(i) 左右放物線
(1)方程式
(2)焦点下(
-4px (p+0)
(4)点Pが⇔>PF-PH
旅の点
(ii)上下放物線
(1)方程式
x=4py (p70)
(0.1)
(日)焦点
③準線&lr
④ Po
旅の点
=p
PF=PH
Ty
F-P
焦点下がり軸の
下側> 下側
0
-P
I

ページ21:

例) (1)古 y=4x=4-12-0
が表す図形は焦点下(1,0)
準線:文=-1の放物線
6)) x²= dy = 4x-2) » Y \"
表す図形は、焦点F(0,-2),
準線l=y=2の放物線
No.
Date
問6.26
(1)y²-a
(2)=-1/12/
(3)5-8
焦点(110)
焦点(80)
焦点(2,0)
準線l.x=準線:x=/
x=-2
問627
1=2x
問6.25
y=
曲線の平行移動
曲線: f(x,y)=0を
平行移動した曲線
☆軸方向にD、4軸方向に②だけ
fcx-p, y-G ) = 0
25
+
二人が表す図形は
楕円+=1000
f(x,y)=0
方は
(x-14-9)
a': f(x-p₁y-q)
(x,y)
をx軸方向に2軸方向に
だけ飛行移動したもの
(2)万)(x+2)(4-3)=1が表す図形は
双曲線=11
をx軸方向に2
軸方向に3だけ
平行移動したもの
00
(09/03))
38
-3
7
ny
→g