ノートテキスト
ページ1:
令和7年1月進研記述高1 模試@自学
B5 公差が3の等差数列{a}があり, as + α = 32 を満たしている。
n
また,数列{b,}があり,b, = 1, b,+1-b=a (n=1,2,3, …)
n
を満たしている。
(1) 数列{a}の一般項 α を n を用いて表せ。
n
(2) bz, b3, baをそれぞれ求めよ。 また, 数列{b,}の一般項b, を
nを用いて表せ。
(3) bn+4 - b, は偶数であることを示せ。また,数列{b,}の項のうち,
n
20
奇数であるものを小さい順に並べてできる数列を{c}とする。ck
を求めよ。
k=1
(配点 40)
ページ2:
自学 © Akagi
(1) 数列{a}の初項をα, 公差をd とすると, 一般項は
n
an=a+(n-1)d
公差が3だから
d=3
よって
an=a,+(n-1)x3 = a +3n-3
・①
と表せ,
as = a +3×5-3 = q, +12
a = a +3×7-3 = a + 18
これらの和が 32 だから
(a +12)+(a, +18) =32
よって
q=1
①に代入して整理すると
an
=3n-2☑
ページ3:
自学© Akagi
(2) b, = 1, bm+1-bm=an
◆ 前半
(1)より
b-b=3n-2
→>
n+1
②で
n=1のとき
n =
=2のとき
■ 後半
n=3のとき
②は階差数列型の漸化式。
|bn+1=b+3n-2
bz = b, +3×1-2=2
b = b +3×2-2=6
b = b +3×3-2=13
n≧2のとき b=b1+2 (3k-2)
k=1
1
4
=1+3×12(n-1){(n-1)+1}-2(n-1)
7
3
2
=
2
n + 3 終
2
これは, n=1のときにも成り立つ。
②
ページ4:
自学 © Akagi (3) 前半 b+4 -6 は偶数であることを示す。 n 3n²-7n+6 b. より 2 b. = n+4 3(n+4)2-7(n+4) +63n² + 17n + 26 2 よってbata-b=12n+10=2(6n+5) 2 6n + 5 は整数だから, bn+4 -b, は偶数である。幽
ページ5:
É*©Akagi (3) 後半 20 Σck を求める。 k=1 b₁ =1, b₂ = 2, b₁ = 6, b₁ = 13, 4 b = 23, b = 36, b₁ = 52, b₂ = 71, (奇数, 偶数, 偶数 奇数) が繰り返し現れるので n=4m-3,4m のときが奇数, n=4m-2, 4m-1のときは偶数 だから, Cn = C 2m-1 + C2m = b4m-3 +b4 3n2-7n+6 4m = n と表せるので 2 シグマ計算をすると 20 k=1 10 =Σ (b₁ m=1 4m-3 +bam) n k = 2 -n(n+1) n k=1 [W] =W] n Σk² k=1 = 6 ∙n(n+1)(2n+1) 10 - - 10 - = 3(4m − 3) ² − 7 (4m − 3) + 6 + * 3(4m)² − 7(4m) +6 =Σ m=1 || 2 1096m²-128m+60 m=1 10 2 m=1 = Σ (48m² - 64m+30) 2 m=1 1 ・10・11 +30 ・10 2 1 = = 48 × 6 · 10.11.21-64 × =18480-3520 + 300 =15260 終
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