Question

マティー

有界閉区間 I=[0,1] 上の有界関数f(x)に対して、数列{an},{bn}を写真のように定めたとき、{an},{bn}は共にある実数値Jに収束することはf(x)が I 上でリーマン積分可能であるための必要条件であるが十分条件ではないことの証明を教えて下さい！

必要性については何となく分かりましたが、十分性は全く分かりません。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

リーマン可積分であるためには、区間のどのような分割を取っても同じ値に収束しないといけません。
単なる二個の具体的な分割に対してだけじゃリーマン可積分とは言えません。
反例としてはディリクレ関数があります。
an、bnはnが無限大で1に収束しますが、ディリクレ関数はリーマン可積分ではありません。

マティー

ありがとうございます！
ディリクレ関数は初めて聞いたので、調べてもう一度考えてみようと思います！