Question

マティー

写真の問題が答えのようになる理由や証明を教えて下さい！

答えはアが「k-1」、イが「1」、ウが「唯一存在する」です。

アはf(x)がk-1次関数であることを数学的帰納法を用いて証明すればいいと思います。

ら                                             * Wx O 沖 90%目 22:57
z を2以上の自然数とする.

(1) 実数上で定義された実数に値を取る関数 7/。) は

79(2) =0(vecR) を満た と  このとき, 帰納法など
を用いることで, ヵr(。) は    てのここ  とが示され

る. 実際, ,(。) は次数が高々 である多項式である.
更に, 。 お向ま   =o が実数の範囲で解を
持つ ,の最小値を とするとき.  ゎ。 は je) の取り方に
より異なるが, その値は高々| である.

(2) 。。 ss を1つ固定する. このとき,

7(zo) =ア(zo) = 了  =o を満たし, の係数が 」で
ある 次多項式 7(Z     ゥ| .

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

アは省略。
イは極端な例として定数関数を考えてやればf'(x)=0は成立。iは明らかに自然数だから最小値は1。
ウ はk-1次から0次(定数項)までの係数、定数項はそれ自身とするを考えると係数はk個。
与えられた等式からk本の方程式を作ることができるから係数を特定することができる。
よって唯一に定めることができる。

マティー

ありがとうございます！

アの証明は難しいですかね？
イは納得できました！
ウのk本の方程式っていうのは
f(x0)=0、f′(x0)=0、f′′(x0)=0… ってことですか？それでf(x)のそれぞれの係数を求められて1つに決まるって解釈であってます？

哲治

そうです。アは帰納法でいいです。

マティー

アの証明について、この後はどうしたらいいんですか？

哲治

こんな感じ。

マティー

k=nのときの仮定は使わないでいいってことですか？

哲治

なかなか上手い書き方が思いつかないんですよね。

哲治

帰納法というより帰納的に次数上げといくだけなのかなとも思いました。(;ﾟロﾟ)

マティー

あーなるほど。分かりました！
ありがとうございました！