Question

ゲスト

基礎的な問題でもうしわけないのですが...苦手な分野なので
n×n行列が対角化可能で行列Aの固有値が全て等しいときAは単位行列の定数倍であることを示してください

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あいうえお

Aの全て等しい固有値をλとし、その固有空間をWとします。単位行列をEとします。このときAは対角化可能なので
dimW=n
です。
よってn個の一次独立なベクトルv_1,…,v_nが
(λE-A)v_I=0
を満たします。つまりvたちを列にもつ行列Xは正則行列であり
(λE-A)X=0
を満たします。
したがって両辺にXの逆行列を右からかけることで
A=λE
となり単位行列の定数倍であることが分かります。

Answer 2

gößt

行列Aが対角化可能かつ固有値が全てλのとき、Aはある正則行列Pを用いて
　P⁻¹AP＝λE
と変形できます。このとき
　A＝P•λE•P⁻¹＝λE