Question

なず

基底を求める問題です。この問題で基底と次元(次数？)の意味がわからなくなってしまいました。

問題を解いてみたのですが、求めるものが違ったようです。私が求めたのは解空間で、問題はその部分空間のようです。

疑問に思うところですが、解空間の基底は4行(4次？)のベクトルですけど、部分空間は3行(4次？)のベクトル(またはただの2次関数？)です。部分空間は解空間に含まれるはずですが、行数から違っています。どうしてですか？そして基底の行数はどういう意味ですか？

ちんぷんかんぷんで説明がうまくできてないかもしれませんが、よろしくおねがいします。

き| の実数係数の 2 次以下の多項式の全体を ア[z]。 とし, その基底として

 

ei(y)三1, ez(z) ニァ, es(y) ニァ*
を考える。このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) 7)=gx?十6x十c の与えられた基底に関する成分を答えよ。

(2) 次の多項式によって生成される 玉[]。 の部分空間の基底と次元を求めよ。

方(%)ニァー2, 記(*)テニー3z十6, 訪(z)ニ2十2x一5, 方CX)ニー2%2?十ァ

3| (1) 7(z)=gx*十6x十c
ーc'1十の・z十gr
三c・ei(z) 十5・ez(y) 6・es()

 

c
より, 求める成分は り

の

(⑫ ヵGであう, あG), () の 1 次関係
を求めればよい。

(方⑦@) 方(%) 訪(*) 計))
(ei(x) es(y) ges())

ー2   6 -5 0
※   1 一3    2   1
0    0    』 一胃

(行列の各列が成分)

よって
方⑦), (y) が 1 次独立,
亡(々) =二 ー8方(%),

(%)=テ5方()一2が(⑦)
したがって

基底は (太⑦)。 訪⑳), 次元は 2 である。

員
W

:(

EC

2) 必 9更|

さ

 

RI
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つつンー \  還
ュー ご ェッ
U
ンーーーー
昌昌
ギ  らT S
ラ
ム  Sーウ
ー  やらら
てデ  ーらつや
記 の)
iL【  1や や
ーー  |は
つ る

線形代数 行列 基底 次元 部分空間 線形空間 一次関係 一次独立

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

VとWはこんな感じと思います。

なず

回答ありがとうございます。
Wの(a+2)と(c-2)はどこから来たのですか？
Vを私が求めたその4行の基底で表せないでしょうか。答えはあってると思いますが、行数は違ってて…なんでなのかよくわかりません。

哲治

WのはVのf2とf4をf1とf3で表して計算すると
(a+2)と(c-2)となります。

哲治

Vの基底はf1とf3だから3行になりますよね。

なず

線形関係を代入したんですが、まだbとdがあります。この後どうするんですか？

え、なら私が求めたのは何ですか？間違ったんですか？でもなんか前の問題がそうだったような…

哲治

すいません。僕のが計算間違えしてましたね。

哲治

後は僕の書いたようにWを考えたらWはVの部分空間ですよね。それぞれの係数をpとqとでも置き直したやつです。

哲治

僕の書いたVでabcdが決まれば、それに対応するpqが一意に定まるからWはVの部分空間になりますよね。

なず

なるほど、部分空間なのはちょっとわかってきたような気がします。
私が求めたその4行の基底は何だったんですか？前の問題がそうだったので。解空間ですか？

哲治

おそらくVの基底だと思います。
Wではないので。問題はWのものを求めよなので。

なず

そうそう。でもVの基底は3行のはずですよね。その部分空間のWは3行ですし。ここが疑問なんです。

哲治

この4行の基底はどうやって出したのですか？

なず

これと同じやり方です。

哲治

これは連立方程式の解の話ですよね。
今回はただの多項式、二次式の集合の話なだけなので、一緒にはならないと思いますよ。

哲治

方程式の解なんて全く出てこないので。

なず

なるほど。前二次式の問題もあったので、これも同じやり方と思ったんですが、基底じゃなかったんですね。

ならわかりました。そのf_nで生成された部分空間は、一次独立のf_nを探し出せばいいってことですね、解空間と違って。違う問題だったんですねー。なら疑問も晴れました！

哲治

ご理解いただけてよかったです！