(1)
①
三平方の定理より
AH^2=15^2-x^2
②
△ABHにおける三平方の定理より
AH^2=15^2-x^2・・・①
△ACHにおける三平方の定理より
AH^2=13^2-(14-x)^2・・・②
①と②より
15^2-x^2=13^2-(14-x)^2
225-x^2=169-196+28x-x^2
-x^2-28x+x^2=169-196-225
-28x=-252
x=9
これを①に代入し
AH^2=15^2-9^2
AH^2＝225-81=144
AH=12, -12
AH>0であるからAH=12cm。
③
面積を求める底辺×高さ÷2の公式に当てはめて
9×12÷2=54cm2。
(2)
内接円の半径(r)を求める公式は
r=2×面積/三辺の長さの合計
である。
△ABCの面積は14×12÷2=84cm2であるから
r=168/42
r=4
よって内接円の半径は4cm。
(3)
外接円の半径は正弦定理より
a/sinA=b/sinB=c/sinC=r
であるため、余弦定理より
cos∠A=b^2+c^2-a^2/2bc
cos∠A=13^2+15^2-14^2/2×13×15
cos∠A=33/65
1-cosA^2=sinA^2
1-(33/65)^2=3136/4225
sinA=56/65
正弦定理より
2r=14÷56/65
2r=65/4
r=65/8
よって外接円の半径は65/8cm。
