✨ 最佳解答 ✨
2つの式について、xが2から4に増えるときの変化の割合を考えてみましょう
変化の割合は yの増加量 / xの増加量 で求めます
(1)y=ax^2 (^2→2乗という意味です)
x=2のとき、y=a× 2^2=4a
x=4のとき、y=a × 4^2=16a
変化の割合は (16a-4a) / (4-2) = 12a/2 =6a
(2)y=2x+5
x=2のとき、y=2×2+5=4+5=9
x=4のとき、y=2×4+5=8+5=13
変化の割合は(13-9)/(4-2) = 4/2=2
(1)と(2)が等しいので、 6a = 2 という式を立てることができます。解くと a =1/3 になります
※画像の a×(2+4) という式が出てくる理由を考えましたが、分かりませんでした...
ちょっと(場合によってはだいぶ)計算が楽になるってだけです
補足：a(2+4)となる理由が分かりました
y= ax^2について、xが2から4になるときのyの増加量は
4^2a-2^2a = a(4^2-2^2) =a(4+2)(4-2)
→a^2-b^2 = (a+b)(a-b) という因数分解の式を使うと、このように変形できます
xの増加量は、4-2
変化の割合は、
a(4+2)(4-2) / (4-2) = a(4+2)
→(4-2)同士を割るので、1になります
一応、なぞは解けましたが、今回は簡単な数だったので、使う意味は無いと思いました。しかし、「y=ax^2について、xが19から23になるときの変化の割合」なら、19や23の2乗を計算することなく求められる点で、(23^2a-19^2a)/(23-19) = a(23+19)(23-19) / (23-19) = a(23+19)と計算できるこの方法が便利です。
y=ax^2において、ある直線y=cx+dとの交点のx座標をp、qとしたとき a(p+q)=cとなることがわかったわけですが、このことから切片dもa、p、qを使って表せます。直線にc=a(p+q)を代入すると
y=a(p+q)x+dとなる。 また、この直線は(p,ap^2)を解に持つから ※(q,aq^2)を用いても良い
ap^2=a(p+q)p+d
d=ap^2-a(p+q)p
=ap^2-ap^2-apq
=-apq
よって 切片は-apq
傾きも切片も、交点のx座標と二次関数のx^2の係数を用いるだけで求められることがわかりました。まぁ、便利ですね。
(中学までは頂点が原点である二次関数が出ることがほとんどなので、バンバン使ってましたが、高校からは使いどころがなかったりしますがね。)
ご回答ありがとうございました。とても分かりやすかったです！
画像のやり方は 頂点が原点である二次関数において、xの値がpからqまで増加する時の変化の割合を一般化したものに数値を代入しただけですよ