フィボナッチ数の無限和についての質問です

Question

フィボナッチ数の無限和についての質問です
フィボナッチ数(直前の2つの数の和を並べた数)の無限和を求めると-1になる？のが納得いきません。
ネットでググると母関数とか解析接続などを行なって、無限和が-1になると書いてあるのですが、一方で部分和から無限和は♾になるとも書いてあります。

自分の常識的に考えてフィボナッチ数が負の値になることはないし、正の数を足し続けるのだから和が-1になるのはありえなく、増加し続けるのだから♾になると思うのですが、どなたか教えてください🙇🏻‍♂️

大学受験数学の範囲から少し離れている気がするのですけれど、数学が得意な人や数学科の大学生などの方の意見や解説をお願いします。

horizon · Accepted Answer

ふつうに計算すれば、無限和は発散します。

ここでは、解析接続について端折りながら簡単に説明していきます。
わかりやすいように、次のような例を示します。

1+2+3+4+...=-1/12

実は、解析接続により、このような式が成り立ちます。

解析接続とは、複素関数の分野の言葉なんですが、関数の定義を拡張して考えるということです。(詳しい話は専門的になりすぎるので、省略します)

ここでは、ゼータ関数ζ(s)=Σ1/n^sというものを考えます。これは、s>1でしか定義されていないが、これを拡張してs=-1を代入すると上の式が得られます。

ここで注意して欲しいのは、この表し方はあくまで形式的なものであるということです。(まあ、気持ち的には無限に和をとっているから注意が必要と思っておけば十分です)

まとめると、これをまともに理解しようとすると、大学2,3年の専門的な数学を必要とするので、「へぇー、解析接続っていうものを使うをこんな結果になるんだな〜、不思議だな〜」と思っておいて大丈夫です！

解答