Question

ヲカノ

広義積分について、画像のように極限が-∞と∞のように求めれたのですが、そのまま単純に発散すると言っていい理由がわかりません。

積分 広義積分 解析

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

gößt

極端な例ですが、
lim lim ( x-y )
x→∞ y→∞
なる極限は収束するか発散するかわかりますか？
二変数関数 f(x,y)=x-y は、x,yをどのように∞に近づけるかによって∞にも-∞にも0にもなり得ます。よって一つの値に収束しないため上の極限は発散します

元の広義積分の問題もこれと同じで、α, βをどのように0,1に近づけるかによって値が変わるため、広義積分は発散するのです(ただこの解答の書き方はいかがなものかと思いますが)

広義積分の例でいうと、
∫[-1,1](1/x)dx
なんかも発散です。直感的には0なんですけどね

ヲカノ

なるほど。
考え方しっかり理解できました。
ありがとうございます。

Answer 2

ジョン

極限の値が-∞や∞になる理由が分からないということですか？
発散するということは極限値が-∞もしくは∞になることです

ヲカノ

∞の具合によっては、それらの和が有限の値になるかもしれないと考えたのですが、それはどうなのでしょうか？

ジョン

∞の具合とはどういう事でしょうか？

ヲカノ

質問が少し変わるのですが、画像の中括弧の続きがこうなってしまうと考えました。
これはどこが間違ってるでしょうか。

これに納得できれば、最初の質問も納得できると思ってます。

ジョン

それぞれx=0,1で連続ではないのでその積分ができません。

ヲカノ

教科書等色々と再確認してみた結果納得できました。
何度も丁寧にありがとうございます。