Question

最頻

xy平面上の原点中心で半径1の円の内部領域Dで∬_D x^(2n) dxdyを計算するとき、積分変数をr,θに変えてやろうとしましたが、最後にcos2θのn乗が現れて積分できなくなりました。かといって、xとyそのまま使ってもうまくいきそうにありません。いいやり方があれば教えてください。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

英人

sinやcosのn乗の積分には二重階乗を使った公式があります。
https://mathtrain.jp/int_sinnx
を参考にしてください。

積分区間を0〜π/2,π/2〜π,π〜3π/2,3π/2〜2πに分けて平行移動して全てsin,cosのn乗の0〜π/2での積分に帰着したら計算できそうですが、どうでしょう。

最頻

ちょっとやってみます。ありがとうございます。

最頻

できました。ウォリスの公式と呼ばれるらしいですね。0からπ/2の区間での積分は他のところでも同じようです。
答えは2π×(2n-1)!!/(2n)!!となりました。

英人

よかったです！

Answer 2

gößt

2π
∫ cos²ⁿθ dθ
0
の計算ができればいいってことですかね？

最頻

極座標変換したらそうだと思います。自分はcosθの2乗を倍角定理で整理したものをn乗して、それを積分しようとしましたがダメでした。

gößt

私も下の方と同じような解法を想定していました。二乗は崩さずに計算するとよいです