✨ 最佳解答 ✨
全部で何回戦あるかを考えればいいです。
不戦勝がないとしたら、トーナメント戦では毎回戦、必ず半分のチームが負けて脱落します。
最初のチーム数を X としましょう。1回戦では半分のチームが脱落します。勝ち残ったチーム数は X/2 です。2回戦ではまた半分のチームが脱落します。勝ち残ったチーム数は X/4 チームです。このように続けていくと、n回戦目を勝ち残るチーム数は X/2^n チームとなります。
そして決勝戦があります。決勝戦が k回戦目だとすると、（勝ち残るチーム数）= X/2^k です。しかし決勝戦で勝ち残るチームは1チームのみです。したがって 1 = X/2^k となり、 X = 2^k となります。（X は 2の累乗）
この式を使って、k がわかっているのならそのまま X が出せますし、X がわかっているのなら k = log_2 (X) より k が出せます。
ここから1回戦のみに不戦勝があるケースを考えます。1回戦のみ不戦勝のチームが t チームあるとします。すると本来は t チームの 相手をする同数のチームがあったはずです。つまり X チームいるとしたら、本来は t チーム追加でいたはずなので、 X + t = 2^k が成立します。
問題では X = 30 です。X は 2の累乗です。30以上で最小の X は 32ですので、 30 + t = 32 で、t = 2 と分かります。
また、 X + t = 2^k = 32 で、k = 5 だとわかります。これは5回勝てば優勝するという意味です。
問題では不戦勝枠に入って優勝する確率が聞かれています。まずこの確率は (不戦勝枠に入る確率) × （その後の試合をすべて勝つ確率）です。
不戦勝枠の数は t = 2 です。そのため不戦勝枠に入る確率は t/X = 2/30 です。
不戦勝枠に入ると１回戦がありません。これは1回戦に勝つ確率が 1 であるともいえます。
優勝までは5回勝たなければいけないので、あと4回戦います。そのため、不戦勝枠から優勝する確率は 1 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/16 です。不戦勝枠から優勝する確率は一回試合が減るので、 1/2^(k-1) といえます。
これをかけて答えは 2/30 × 1/16 = 1/240 です。
変数で書くと (不戦勝枠に入る確率) × （その後の試合をすべて勝つ確率）= (t/X) × (1/2^(k-1)) = t/(X×2^(k-1)) とも書けますね。
何度もすみません。30以上で最小のXは32はどのようにして求めましたか？教えてくださると幸いです。