Question

いと

線形代数学の問題です。
大問3がわからないです。
大問1の問題文と自分の解答を貼っていますが大問1も合っているかどうかは分かりません。
解き方の分かる方どうかお願いします🙇‍♂️

合で書き表せ。
(4) W= (a1,a2,A3,A4, A5〉 とおくとき、 dim W と、 W の基底を1組求めよ。
3 (40点) Vを有限次元ベクトル空間とし、 WをVの部分空間とする。
(1) W1, 2,..., wh∈W が1次独立ならば、 k dimVであることを1 (2) を用いて
示せ。
(2) w1,W2,..., wk ∈W が1次独立であるとし、 Uk (w1,w2,... wk とおく。
W≠Uk とする。 このとき、 uk+1 ∈W\Ukに対し、 W1, W2,..., Wk, wk +1 は1次独
立であることを示せ。
(3)Wは有限次元で、 dim W≤ dimVであることを示せ。

※点の配分は暫定的なもので変更する可能性がある。
1 (50点) Vをベクトル空間とする。
(1) W1,W2,..., Wn
On ∈Vが1次独立であることの定義を述べよ。
(2)m <n とする。 W1, 2,..., Um∈V と W1W2・・・wn EV に対し、ある行n列
の行列A が存在して
(W1, w2,...,wn)= (u1, 2,...,um)A
という関係があるとき、 W1,W2, wnは1次従属であることを次の事実 (*) を用
いて示せ。
(*): m <n のときm行列行列Aに対し、 連立1次方程式 Aæ0 はæ≠0とな
る解を持つ。
(3) u1,U2,..., um ∈Vについて、 U1,U2,･･･, um の中に個の1次独立なベクトルが
あり、他の m-r個のベクトルはこの個のベクトルの1次結合で書けるならば、
u1, 2,..., um の1次独立な最大個数はであることを示せ。
2 (40点) 次の4 の部分集合 X を考える。

(1)
VのベクトルWWWnが
自明でない1次関係を持たない。すなわち、
CWn+C2wz++ChWm=①(CぇER)を満たすC1,C2...Chは
C1=0,C2=0,....
Ch=0に限るということ。
(2)
+CnWm=①となる自明でない
Cnの存在を示す。
CW+Cats+いい
・CC2
-
(*)より連立1次方定式 Ax=①は自明でない解を持つ、
それを
FG₁₁ T
x=c= C₂ (+0)
とおくと、
C₁ W₁ + C₂ W₂+
+CnWn
= (W₁; W₂, W3, ...; Wn) C
(N,N,N,
NW A C
= 0
よって,W,
wmは1次従属である。
(3)
例えばして、しぇ、……れrが独立で、他のm-r個の
ベクトルはcm, ,····urの1次結合で書けるとすると、
'r = {u^,... unm²の1次独立の最大個数である。
また、しれっ、しれ
cmはいっ、した、chrの結合で
しゃ}の1次独立な最大個数=r
書けるので、2,
よって
m3の1次独立の最大個数は「である。

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