基本例題 36 鉛直面
図のように、なめらかな斜面と半径rのなめらか
な半円筒面が点Aでつながっている。 質量mの小
球を,点Aからの高さんの斜面上の点Pで静かには
なしたところ, 小球は面にそって運動し, 最高点B
を通過した。重力加速度の大きさをg とする。
(1) 点Bを通過するときの小球の速さを求めよ。
PP STA
h
P
(2)点Bを通過するために, hが満たすべき条件を求めよ。
指針 最高点Bで受ける垂直抗力が0以上であれば,小球は点Bを通過できる。
解答 (1) 点Aを重力による位置エネルギーの
基準とし, 点Pと点Bの間で力学的
エネルギー保存則を立てると
0+mgh=12m+mg・2r
よってv=√2g(h-2r)
(2) 点Bで小球が円筒面から受ける垂直
抗力の大きさをNとする。 小球とと
もに運動する観測者から見ると,点
Bにおいて小球には重力, 垂直抗力,
遠心力がはたらき,これらがつりあ
っている。 したがって
2
m-N-mg=0
よって
N=m_v2
r
mg
2g(h-2r)
=m
r
0
ゼロ
B
m
B
V
mg N
-mg
0
=(2-5) mg
N≧0 であれば,小球は
A
r
N=(2h-5)mg
=(275) mg20 ゆえに≧/2/2
面を離れずに点Bを通過できる。 したがって
5
