Question

fedekori

4番がわかりません！

4 AB=4cm, BC=6cm, ∠ABC=60° の △ABCが
ある。
A
(1) △ABCの面積は
点D を通り辺BC に平行な直線と辺AB との交点を
E とし, 線分 BD と線分 EM との交点をFとする。
cm 2
辺BCの中点をMとし, ∠ABCの二等分線と辺 AC
との交点をDとする。
E
D
F
B
C
M
(2) AC=
cm
(3) DC=|
cm
(4) △DEF の面積は
cm?

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

lv0043

(1)△ ABC = sin60° x AB x BC x (1/2) = √ 3/2 x 4 x 6 x (1/2) = 6√ 3

　または、AからBCへ下ろした垂線とBCとの交点をGとすると、
　△ ABGは 30°、60°、90° の関係にある三角形なので、
　AB:AG = 2:√ 3 より、AG = AB√ 3 / 2 = 2√ 3
　△ ABC = BC x AG x (1/2) = 6 x 2√ 3 x (1/2) = 6√ 3

(2) (1)の２つ目の方法により、AB:BG=2:1 なので BG=2。つまり GC = 4
AG⊥ BC より△ AGCは直角三角形。よって、
　AG² + GC² = AC²　より、AC² = (2√ 3)² + 4² = 28。 AC=√ 28 = 2√ 7

(3) AからBDに平行な線を引き、BCの延長線との交点をHとすると、
　∠ AHB=30°、∠ HAB=30° より、△ BAHは二等辺三角形。つまり、AB=HB=4cm
　AH//DBなので、 CB:BH = CD:DA = 6:4 = 3:2
　AC=2√ 7より、CD=2√ 7 x (3/5) = 6√7/5

(4) CD:DA =3:2 かつ ED//BCより CD:DA=BE:EA=3:2 より、EB=(3/5) AB = 12/5。
　また、AD:AC=2:5 = ED:BC より、ED=2BC/5 = 12/5。
　EB=EDより、△ EBDは二等辺三角形。

　または、ED//BCより、∠ DBC=∠ EDB = 30°、
　∠ EBD=∠ EDB=30° より、△ EBDは二等辺三角形。つまり、EB=ED より、ED=12/5

　△ EBDにおいて、EからBCに垂線を下ろした交点をJとすると、△ EBJは 30°、60°、90°の
　関係にある三角形なので、EB:EJ:BJ=2:1:√3
　BJ:EB=√ 3:2 より、BJ=EB√3 /2 = (12/5)√3 /2 = 6√3 /5
　EJ:EB=1:2 より、EJ=6/5

　BJ=DJより、 BD=12√3 /5
　△ EDF∽ △ MBFであるので、ED=12/5、BM=3、ED//BMより、ED:BM = DF:BF = 12/5:3 = 12:15 = 4:5
　ところで、△ EBDの面積は BD x EJ x (1/2) = 12√3/5 x 6/5 x 1/2 = 36√3 /25。
　DFはBDの4/9なので、△ DEFの面積は△ EBDの4/9。よって、△ DEF = (4/9) x 36√3/25 = 16√3/25

lv0043

手書きを添付しておきます

fedekori

丁寧な回答ありがとうございます！

lv0043

誤記がありました。
誤:EJ:EB=1:2 より、EJ=6/5
正: EJ:EB=1:2 より、EJ=6√3/5

答えは合っていましたか。

fedekori

あってます！