基 例題 55
高次式の値(割り算を利用して次数を下げる)
P(x)=x+3x2+x+2について,次の問いに答えよ。
(1) x=-1+i のとき, x2+2x+2=0 であることを証明せよ。
2
P(x) を x2+2x+2で割った商と余りを求めよ。
5.
(3) P(-1+i) の値を求めよ。
③ 基本 10 基本 60
CHART & THINKING
(1)(2)(3)のヒント
(3)でP(-1+i) の値を求めるのに, x= -1 + i を直接代入すると計算が煩雑。
そこで,(1),(2) をヒントとして利用しよう。 (2)で求めた商Q(x) と余り ax +6 を用いると,
割り算の基本公式から
P(x)=(x2+2x+2)Q(x)+ax+b
となる。ここで, (1) の結果をどのように利用すればよいだろうか?
りをそれ
りを考え
割った余
の多項
る。
R
を代
解答
うしの
(1) x=-1+i から x+1=i
両辺を2乗して
これを整理して
(x+1)=-1
x2+2x+2=0
2章
8
剰余の定理と因数
x +1
x2+2x+2)x+3x2+ x +2
◆iを消去。
(3) P(x)の次数を順次下
げていく方法もある。
x2+2x+2=0 から
x2=-2x-2
よって
P(x)=x.x2+3x²+x+2
=x(-2x-2)
+3(-2x-2)+x+2
=-2x2-7x4
別解 x=-1+iのとき
x2+2x+2=(-1+i)+2(-1+i)+2
=1-2i+i-2+2i+2
=1-1=0
(2)右の計算から
商
x+1
x+2x2+2x
余り 3x
x2-x+2
(3)(2)から
x2+2x+2
P(x)=(x2+2x+2)(x+1)-3x
0=-3x
これに x=-1+i を代入すると, (1) の結果から
P(-1+i)=0-3(-1+i) =3-3i
=-2(-2x-2)-7x-4
=-3x
← (1) から x=1+iのと
きx2+2x+2=0
INFORMATION
虚数単位を消去するための工夫
入試などでは, (3) だけが単独で出題されることも多い。 そういう場合も遠回りに感じ
るかもしれないが, x+1=iと変形して両辺を2乗すると, (1) の形のように虚数単位
がなくなり実数係数の2次方程式となるので,計算がスムーズになる。
RACTICE 55
P(x)=3x3-8x²+x+7 のとき,P(1-√2i) の値を求めよ。
すごくわかりやすいです！！
理解出来ました！！！
本当にありがとうございました！！🌻