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基本 例題 85 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (1)
00000
関数y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように,定数kの値 |
(1)
を定めよ。 また,このとき最小値を求めよ。
(2) 関数 y=x2-2ax+α2-2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような正の定数
a の値を求めよ。
基本 80, 82 重要 86
指針 関数を基本形y=a(x-p)+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め、
(1)(最大値)=4 (2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。
(2)では, 軸x=α (a>0) が区間0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
HART
2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
重要
例題
定義域を0≤
とき、定数
この間
指針
形が変
a=0
(最大
なお,
いよ
解答
関数の
(1) y=-2x2+8x+k を変形すると
y=-2(x-2)2+k+8
よって, 1≦x≦4においては,
YA
最大
k+8
右の図から、x=2で最大値k+8
4
012
x
区間の中央の値は 1/2で
あるから, 軸 x=2は区
間 1≦x≦4で中央より
左にある。
[1] a
解答
f(x)
[2] a
をとる。
y=f
ゆえに
k+8=4
線と
最小
最大値を4とおいて,
よって k=-4
このとき, x=4で最小値-4 をとる。
(2) y=x2-2ax+α² -2aを変形すると
y=(x-a)2-2a
[1] 0<a≦2のとき, x=αで
最小値 -2αをとる。
kの方程式を解く。
は.
をと
[1] YA
軸
< 「αは正」に注意。
<0<a≦2のとき,
軸x=αは区間の内。
11
-2a=11 とすると α =
a
2
0
2
x
→頂点x=αで最小。
これは0 <a≦2を満たさない。
[2] 2<αのとき, x=2で
の確認を忘れずに。
2a最小
最小値 22-2α・2+α2-2a,
つまりα-6a+4をとる。
α2-6a+4=11 とすると
a²-6a-7=0
[2] YA
2-6a+4
最小
a
<(a+1)(a-7)=0
これを解くと a=-1,7
02
x
軸
2 <αを満たすものは a=7
の確認を忘れずに。
以上から、 求めるαの値は α=7
-2a
2<αのとき,
軸x=αは区間の右外。
→区間の右端 x=2で最
小。
線と
は
をと
これ
これ
以上
注意 問題文
f(x)=
練習 (1) 2次関数y=x2-x+k+1の1≦x≦1における最大値が6であるとき、定数
③ 85
kの値を求めよ。
EX61
(2) 関数 y=-x2+2ax-a-2a-1-1≦x≦0) の最大値が0になるような定数
α の値を求めよ。
練習 定義
③ 86 と
