Question

なの

数学青チャ1A例題59から
赤枠部分について、なぜ正の公約数を持つと有理数でないといえるのでしょうか？
また、それをなぜ分数の形にするのでしょうか？

あり
ない
ない
基本 例題 59 √7 が無理数であることの証明
00000
√7 は無理数であることを証明せよ。ただしnを自然数とするとき, nが7の
倍数ならば, nは7の倍数であることを用いてよいものとする。
[ 類 九州大 ]
指針 無理数であることを直接証明することは難しい。 そこで, 前ページの例題と同様
直接がだめなら間接で 背理法
基本 58
4
解答
に従い 「無理数である」 = 「有理数でない」を,背理法で証明する。
つまり、√7 が有理数(すなわち 既約分数で表される)と仮定して矛盾を導く。・・・・・・・・・
[補足] 2つの自然数α, bが1以外に公約数をもたないとき, αとは互いに素である
(数学 A 参照)といい, このときは既約分数である。
して
る。
√7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた
ない自然数 α, b を用いて7 と表される。
a
√7 は実数であり、無理
b
このとき
両辺を2乗すると
a=√76を用いて
a2=762
①
でないと仮定しているか
有理数である。
この両辺を2乗すると
よって, αは7の倍数であるから, a も 7の倍数である。 例題の「ただし書き」を
いている。
ゆえに, cを自然数として, α = 7c と表される。
a2=49c2
① ② から 762=49c2 すなわち 627c2d
②
よって, 62 は7の倍数であるから, 6も7の倍数である。
ゆえに α ともは公約数7をもつ。
これも「ただし書き
る。
これはaとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって√7 は無理数である。

背理法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

完全に勘違いしてます。
まず「無理数でない」と背理法で仮定する。
つまり「有理数である」と仮定してます。
有理数であるということは分数の形でかけるということです。
その際、ここを既約分数という縛りをつけて置かないと無限に存在してしまうので、その縛りをつけています。
例えば1/3=2/6=3/18=,,,,,
となってしまうからです。

なの

とても分かりやすかったです！ありがとうございます！