Question

まかろん

数Iの命題と証明の問題です

写真の問題の対偶が、
｢a,b,c がすべて偶数またはすべて奇数ならば、a^2+b^2+c^2-ab-bc-caは偶数である。｣
となるのですが、｢全て偶数かつ全て奇数｣とならない理由を教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

倍数である。
(3) a2+b2+c-ab-bc-ca が奇数ならば, a, b c のうち奇数の個数
は1個または2個である。
[東北学院大 ]

命題 証明 対偶

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

｢全て偶数かつ全て奇数｣
これってありえなくないですか？
偶数でもあり奇数でもある数なんて存在しませんよ。

まかろん

ちゃんと見てませんでした💦すみません
ありがとうございました

まかろん

仮に、成り立つ場合であっても｢または｣が｢かつ｣にはならないのですか、？

きらうる

良い例が思いつきませんので、この問題で説明すると、もともとの命題は
「a,b,cのうち奇数の個数は1個または2個」
です。言い換えると、
「3つの数の組み合わせは、奇・奇・偶か奇・偶・偶のどちらか」

これの待遇は、
「3つの数の組み合わせは、奇・奇・奇か偶・偶・偶のどちらか」
となりますよね。

今回の場合は、奇数と偶数の組み合わせが4つしかないんです。そのうち命題は2つが成立しているので、対偶は残りの2つのどちらかになります。
このように、「または」の待遇が必ずしも「かつ」にはならない場合もあります。

まかろん

学校の授業では｢または｣が｢かつ｣にならない場合があると教えてもらわなかったのでありがたいです🙏🏻
詳しく教えてくださりありがとうございました！

GDO

「かつ」を使うのであれば、「1個ではない かつ 2個ではない」となるので、
「0個 または 3個（全部偶数または全部奇数）」を意味します。
「0個 または 3個（全部偶数または全部奇数）」の方が分かりやすいですよね。