Question

ひきわり

表現行列についてです。
1枚目の公式を用いてこの問題を解きたいです。どのようにすればよいか立式を含めて教えてください。
よろしくお願いします🙇

基底の変換と表現行列 f:R" → R" を線形写像とし, R", R" の基底と
して次のものをとる.
R" の基底として
{U1,U2,...,un}と{u1,ぴ^2,...,un}
R™ の基底として{v1, 2,...,ぴm}と{v1, 2,...,vm}
そして,それらの基底の間の関係を
(ui
un) = (u1
un) P, (v1… vm) = (v1... vm) Q (*)
と表すと, 行列 P および Q は正則行列である (問題4-2の4を参照) 行列
P,Qを基底の変換行列という.このとき,次の命題が成り立つ.
|命題 4.2 f: R" → R" を線形写像とし
基底 {u1, 2,..., un},{V1, 2,..., vm}に関するf の表現行列を A
vm}に関するfの表現行列を
基底{ul, u'2,...,un},{1, 2,...,'}に関するf の表現行列を B
とし、基底の間の関係 (*) を仮定すると,
B=Q-1AP
である.
[証明] (*) の第1式と fの線形性および表現行列 A の定義より
(f(u₁)
=
=
f(mm))
= (f(p111++Pn1un)
f(pinui + + Panun))
(p11f(u1) +... + Pnif(un) ... pinf(u1)+.
pinf(u1) +... +Panf(un))
= (f(u₁) ... f(un)) P

[5B06] {a,b,c} を3次元ベクトル空間 Vの基底とし, fを次のようなVの
c)を3次元ベクトル空間Vの基底とし,fを次のようなVの
線形変換とする。 このとき, 以下の各問に答えよ。
f(a)=-a-c,f(b)=a,f(c)=a+b+2c
(1){a+b+c, a + b, a} は V の基底であることを示せ。
(2)Vの基底 {a+b+c, a+b, a} に関するfの表現行列 A を求めよ。
〈神戸大学工学部〉

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

こんな感じ。

ひきわり

すみません！答えが違います、、
求める表現行列は写真1枚目のようになります、💦

この問題でA,B,P,Qに当たる部分を示しながらお願いします🤲

ひきわり

1 -1 -1
0 1 1
0 0 -1 です

哲治

答えは？

哲治

こんな感じ。基底を{a,b,c}のままやってました。失礼しました。

ひきわり

この問題を解くときB=Q^-1APに代入しようとはしないのでしょうか？

哲治

しないです。

ひきわり

なぜでしょうか？

哲治

しないというと語弊ありますね。
論理の仕組みはテキストどおりですけれど、実際の計算問題では僕のように解きますという方がいいですね。

ひきわり

ということは、考え方はテキストの考え方を用いているが、実際解くときは公式に当てはめるのではなく、考え方だけをもとに、計算を行うといった感じでしょうか？

哲治

まずはそう思ってくれていいと思います。

ひきわり

あともう一つ気になることがあります💦
下の写真のような書き方だと表現行列の答えが変わってくると思いますが、この書き方でも良いのでしょうか？
よろしくお願いします🙇

哲治

縦と横だから表現行列も転置行列になります。

ひきわり

これはこれで正解となりますか？

哲治

なると思います。

ひきわり

ありがとうございます😭