Question

Niifa

数学IIIの微分「平均値の定理」の範囲の問題です。
1枚目の写真が問題で、2,3枚目は回答です。
2枚目の赤線を引いているところが、なぜそうして良いのか分かりません😭
教えてください🙇‍♀️

(2) lim
x-0
1
sin x - sin x2
x-x2

(2) 関数 f(t) = sint はすべての実数で微分可能
で f'(t) =cost
食
[1] x < 0 のとき
x<x2であるから,区間[x, x2] において,
平均値の定理を用いると
sinx2sinx(3) 【エ
-
x2-x
=cosQ1,x<<x2
を満たす実数 01 が存在する。
limx=0, lim x2=0であるから
x-0
0-1x
よって
lim
x--0
[2] x>0のとき
lim01=0
x-0
2
sin x²- sin x
mil
198
= lim coso1=1
x²-xmil x-0
x → +0であるから, 0<x<1としてよい。
このとき,xxであるから, 区間 [x2, x] に

おいて,平均値の定理を用いると
sinx-sin x2
x-x2
=cos02, x2<02<x
を満たす実数 02 が存在する。
limx2=0, lim x=0であるから
x+0
x+0
よって
lim
x+0
以上から lim
x→0
lim02=0
0+←x
sin x - sin x2
-
x-x2
sinx-sin x2
x-x2
SI
=
lim cos02=1
0+←x
=1
08

微分 平均値の定理 三角関数 数iii

Answer 1

GDO

「0<x<1としてよい」ではなく、「0<x<1である」として読むのがよいです。

x→＋0 であれば、xは0より大きく、0.1より小さい（1より小さい）です。
ｘが0<x<1のときx²<xになるため、この(x²<x)説明用に記載してます（x²<θ<xなどに使用）。
正しく証明するには必要ですが、これが証明に影響することはないです。

「0<x<1のときは、x²<xとなることは、ちゃんとわかってますよ」という宣言だと
考えてください。分かっていなかったら×（バツ）になります。

かなり雑で、語弊はありますが、上記のような意味です。
「0<x<1としてよい」←この表現が良いと思いませんが、語彙力なくて
良い表現が思いつきません🙇

Niifa

なるほど！理解できました！ありがとうございます🙇‍♀️